В часть. Определение. Отношением, в котором точка с делит отрезок ав называется число

Скачать 0.58 Mb. Название Определение. Отношением, в котором точка с делит отрезок ав называется число Анкор В часть.docx Дата 08.02.2018 Размер 0.58 Mb. Формат файла Имя файла В часть.docx Тип Документы #16376 страница 1 из 3

1   2   3 9. Деление отрезка в данном отношении. Пусть дана прямая ℓ и точки А, В и С принадлежащие прямой ℓ. Определение. Отношением, в котором точка С делит отрезок АВ называется число . Обозначение λС=(АВ,С). Число λ может принимать как положительные так и отрицательные значения. Так, на рис. а) векторы и сонаправлены и, поэтому, λ > 0; то есть точка С лежит на отрезке АВ. В случае, приведённом на рис.4б), и противоположно направлены и, следовательно, λ < 0, а точка С лежит вне отрезка АВ. Число λ не может принимать значение равное − 1, так как в этом случае = − => = => А = В, что означает отрезов вырождается в точку. 10. Уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором. Поставим перед собой задачу получить уравнение прямой. Введём на плоскости аффинную систему координат R=(О,) и рассмотрим прямую ℓ, заданную точкой Мо(хо,уо) и вектором параллельным ей. В этом случае положение прямой ℓ на плоскости определяется единственным образом. Пусть точка М(x;y) − произвольная точка прямой ℓ. Очевидно, что точка М(x,y) тогда и только тогда, когда векторы и параллельны. => . Координаты вектора и вектора () известны, => Уравнение называется уравнением прямой заданной точкой и направляющим вектором или каноническим уравнением прямой. (Уравнение прямой, проходящей через две точки. Согласно аксиомам планиметрии через две точки плоскости проходит единственная прямая. Пусть на плоскости введена аффинная система R=(О,) координат и даны две точки, которые имеют координаты М1(х1;у1) и М2 (х2;у2). В этом случае в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор . образом направляющий вектор прямой ℓ = = =(). Уравнение прямой (М1М2) в этом случае запишется в виде: Уравнение называется уравнениемпрямой проходящей через две точки). 11. Уравнение прямой, с угловым коэффициентом. Пусть на плоскости в дана аффинная система координат R=(О,) и дана прямая ℓ, пересекающая ось ординат. Если − направляющий вектор прямой, то и не коллинеарны, поэтому . Число называется угловым коэффициентом прямой ℓ. Заметим, что угловой коэффициент прямой не зависит от выбора направляющего вектора прямой. Действительно, если − другой направляющий вектор прямой ℓ, то поэтому координаты векторов и пропорциональны .Пусть k − коэффициент прямой ℓ, координат R=(О,). Очевидно, что если направляющий вектор прямой ℓ, то вектор является направляющим вектором этой прямой. Поэтому уравнение (5) можно записать в виде или . в качестве точки М(х0;у0) взять точку В(0;b), то последнее уравнение примет вид Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Угловой коэффициент k прямой имеет простой геометрический смысл, если прямая задана в прямоугольной системе координат R(O,), что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой к оси Ох. 12. Прямая, как линия первого порядка. Определение. Линия называется линией первого порядка, если её уравнение содержит переменные в первой степени. Теорема I. Любая прямая в некоторой системе координат на плоскости определяется уравнением первого порядка Ах+Ву+C =0. И наоборот любое уравнение первого порядка Ах+Ву+C =0 в некоторой системе координат на плоскости задаёт в пряммую. Доказательство. 1. Пусть на плоскости дана прямая ℓ. Введём на плоскости систему координат. Тогда, в зависимости от способа задания прямой её уравнением будет одно из следующих: ; ; ; .Каждое из этих уравнений является уравнением первого порядка, которое легко приводится к виду Lx+By+C=0 .Ч.т.д. 2. Пусть на плоскости в некоторой системе координат дано уравнение Lx+By+C=0. Выясним, какая фигура Φ определяется этим уравнением. Возьмём точку М0(-С/L; 0) и вектор . Составим уравнение прямой ℓ, заданной точкой М0 и направляющим вектором . Раскрыв определитель, получим Ах+Ву+Сz=0. Очевидно, что всякая точка, принадлежащая фигуре Φ имеет координаты, удовлетворяющие уравнению Ах+Ву+Сz=0. С другой стороны, Любая точка, принадлежащая прямой ℓ , имеет координаты, удовлетворяющие тому же уравнению, => фигура Φ является прямой ℓ . Теорема доказана. 13. Взаимное расположение двух прямых. Теорема: Пусть в некоторой аффинной системе координат даны две прямые ℓ1: А1 х+В1 у+С1 =0 и ℓ2: А2 х+В2 у+С2 =0. Тогда:1) ℓ1 = ℓ2 <= > А1,В1, С1 и А2 , В2 , С2 - пропорциональны, то есть: , 2) ℓ1 ‖ ℓ2 <= > 3) ℓ1 ∩ ℓ2 ≠ Ø <= > А1,В1, С1 и А2 , В2 , С2 - не пропорциональны. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть для прямых ℓ1 и ℓ2 выполнено условие =λ или А1 = λ А2 ;В1 = λВ2 ; С1= λС2 .Это означает, что уравнение прямой ℓ1 можно записать в виде: λ(А2 х+В2у+С2) =0 <=> любая точка прямой ℓ1 принадлежит прямой ℓ1 то есть эти прямые совпадают. Достаточность. Пусть ℓ1 = ℓ2= > векторы нормали прямых ℓ1 и ℓ2 коллинеарны, то есть А1 = λ А2 ;В1 = λВ2 . Это означает, что уравнение прямой ℓ1 можно записать в виде: λ(А2 х+В2 )+С1 =0. = > С1 = - λ(А2 х+В2 у) = λС2 = > А1 = λ А2 ;В1 = λВ2 ; С1= λС2 . 2) Необходимость. Пусть для прямых ℓ1и ℓ2 выполнено условие . В этом случае векторы нормалей прямых ℓ1и ℓ2 коллинеарны, а значит прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны, но не совпадают, так как для совпадения прямых ℓ1и ℓ2 необходимо и достаточно, что бы . Достаточность. Пусть ℓ1 ‖ ℓ2. = > что векторы нормалей и коллинеарны, а это значит, что А1 = λ А2 ; В1 = λ В2 ; но С1≠ λС2 так ℓ1 ≠ ℓ2. 3) Необходимость. Пусть ℓ1 ∩ ℓ2 ≠ Ø. = > что векторы нормали не коллинеарны, а это значит, что А1, В1 и А2 , В2 - не пропорциональны. Достаточность. Пусть А1,В1 и А2 , В2 - не пропорциональны. = > что векторы нормалей не коллинеарны, а это значит, что прямые ℓ1 и ℓ2 не совпадают и не коллинеарны => прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются. 14. Уравнение прямой, заданной точкой и вектором нормали. Определение. Вектор перпендикулярный плоскости α называется вектором нормали плоскости α. Очевидно, что существует множество векторов нормали для конкретной прямой,все они коллинеарны между собой. Задача составления уравнения прямой, заданной точкой и вектором нормали, является метрической задачей. Метрические задачи обычно рассматриваются в прямоугольной системе координат. Введём на плоскости прямоугольную систему координат R(O,). В которой зададим точку М0, вектор и рассмотрим прямую, проходящую через точку М0 перпендикулярно вектору . Очевидно, что произвольная точка М принадлежит прямой ℓ тогда и только тогда когда . Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Учитывая то, что получаем: Уравнение называется уравнением плоскости, заданной точкой Мо(хо,уо) и вектором нормали . 15. Расстояние от точки до прямой. Определение. Расстоянием от точки М до прямой ℓ является длина перпендикуляра, опущенного из точки М на l прямую ℓ. Теорема IV. Расстояние от точки М0( x0 ; y0 ) прямой ℓ, заданной уравнением общего вида : ℓ: Ах+Ву+С=0, вычисляется поформуле : . Доказательство. Пусть в прямоугольной системе координат задана прямая ℓ: Ах+Ву+С=0 и т. М0(x0; y0), не лежащая на этой прямой . Вычислим расстояние от точки Мо до прямой ℓ. Заметим ,что => ||, где точка Н – основание перпендикуляра, опущенного из точки М0 на прямую ℓ, координаты которой Н( xH; yH ).(Рис.).Тогда Откуда следует, что ρ(М0,ℓ) = ǀНМǀ=ǀ(,)ǀ/ǀǀ. Учитывая, что (,)= А(xH-x0) +B(yH-y0); и так как точка Н лежит на прямой ℓ, то есть АхН + ВуН + С=0, получаем: . 16. Геометрический смысл знака трёхчлена Ах+Ву+С. Теорема III. Если в аффинной системе координат дана прямаяℓ: Ах+Ву+С=0, и точка М1(x1;y1),координаты которой удовлетворяют неравенству Ах1+ Ву1+ С > 0, то точка М1 лежит по одну сторону от прямой ℓ с концом вектора , если его начало приложить к некоторой точке прямойℓ. Если координаты и точки М1(x1;y1) удовлетворяют неравенству Ах1+ Ву1+ С< 0, то точка М1 с концом векторалежат по разные стороны от прямойℓ, если начало вектора приложить к некоторой точке прямой ℓ. Доказательство. Прежде, чем привести доказательство сформулированной теоремы, заметим, что вектор не параллелен плоскости α. Для того чтобы убедиться в этом проверим условие параллельности вектора плоскости α : А2 + В2 + С2 ≠ 0. Пусть в пространстве введена аффинная система координат R=(О) и дан многочлен Ах+ Ву+ Сz+D. Если в этот многочлен подставит координаты точки М1, то значением этого многочлена буде некоторое число δ. Возможны следующие случаи: . В случае б) точка М1 принадлежит плоскости α. Выясним, где находится точка М1 в двух остальных случаях. Проведём через точку М1 прямую М1Н параллельно вектору , Тогда так как , то =λ· => хН - х1 = λА; уН - у1 = λВ; . => х1 = λА + хН ; у1 = λВ + уН (10) Подставив выражения для x1; y1 и z1 в многочлен Ax + By + C , получаем: δ = Ax1 + By1 + C = λ(А2 + В2 ) + AxH + ByH + C. Так как точка Н принадлежит прямой ℓ, то сумма подчёркнутых слагаемых равна 0. Таким образом δ = λ(А2 + В2 ). Отсюда получаем, что знак δ зависит от знака λ. => Если λ > 0 , то вектор и вектор сонаправлены и их концы расположены по одну сторону от прямой ℓ. Если λ < 0 , то вектор и вектор противоположно направлены и их концы расположены по разные стороны от прямой ℓ. Теорема доказана.   1   2   3