Продолжение учебного пособия(ч2). Решение уравнения в изображениях

Скачать 0.71 Mb. Название Решение уравнения в изображениях Анкор Продолжение учебного пособия(ч2).doc Дата 25.04.2017 Размер 0.71 Mb. Формат файла Имя файла Продолжение учебного пособия(ч2).doc Тип Решение #3245

4.4. Формы записи линейных неоднородных дифференциальных уравнений При описании динамики САУ и ее элементов в виде линейных неоднородных дифференциальных уравнений используют либо операторную форму Коши, либо форму в преобразованиях Лапласа, как это было представлено в предыдущем разделе. Рассмотрим операторную форму записи на примере. Пусть неоднородное линейное дифференциальное уравнение, описывающее динамику САУ, имеет вид . (4.27) Операцию дифференцирования обозначим оператором p, . Используя эти обозначения, (4.27) перепишется как , или . (4.28) Введем обозначения: - назовем собственным оператором; -назовем операторами воздействия. В итоге получим компактную форму записи в операторном виде . (4.29) Теперь получим форму записи неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка в преобразованиях Лапласа. Это уравнение в стандартном виде представлено как . (4.30) Используя свойства преобразования Лапласа, получим . Вводим обозначение , (4.31) можем записать сразу решение дифференциального уравнения (4.30) в преобразованиях Лапласа или , где изображение решения дифференциального уравнения или выходной величины y(t) равно произведению дробно-рациональной функции W(s) и изображения по Лапласу входной величины x(t). Пример: уравнение ; решение уравнения в изображениях ; при . Тогда решение исходного уравнение в преобразованиях Лапласа , или, используя таблицы обратного преобразования Лапласа, получим 4.5. Виды передаточных функций САУ Отношение оператора воздействия к собственному оператору называется передаточной функцией в операторной форме. Передаточная функция относительно входной величины x(t) . (4.32) Передаточная функция относительно возмущающего воздействия f(t) (4.33) Используя передаточные функции (4.32) и (4.33), уравнение (4.27) можно переписать (4.34) Уравнения (4.32)-(4.33) называют уравнениями в символической или операторной форме записи. Отношение (4.31) изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях называют передаточной функцией в форме изображений Лапласа. Если звено или система имеют несколько входов, то при определении передаточной функции относительно какой-либо одной входной величины остальные полагают равными нулю. Найдем передаточные функции в форме изображений Лапласа для звена, описанного уравнением (4.27) Используя свойства линейности и дифференцирования функций-оригиналов в преобразовании Лапласа при нулевых начальных условиях, получим , (4.35) где , , . Тогда ; (4.36) W1(s) называют передаточной функцией по управляющему воздействию, W2(s) – передаточной функцией по возмущающему воздействию. Сравнивая передаточные функции (4.32) и (4.33) с (4.36), заметим, что они полностью совпадают при замене аргументов p на s. Это совпадение возможно только для стационарных систем. Если , , зависят от времени, то. динамические системы называются нестационарными. Используя передаточные функции (4.36) и уравнение (4.35),можно записать решение исходного уравнения в преобразованиях Лапласа (4.36) Это решение адекватно решению исходного дифференциального уравнения (4.27) только при нулевых начальных условиях. Следует отметить, что линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами не выше второго порядка, описывающие поведение звеньев и САУ, записываются в стандартной форме. В этом случае все члены, содержащие выходную переменную и ее производные, записывают в левой части уравнения, все остальные члены - в правой, а коэффициент при выходной переменной делают равным единице. Уравнение (4.27) в стандартной форме принимает вид: , где - имеют размерность времени и их называют постоянными времени; и - передаточные коэффициенты. Стандартную форму остальных звеньев рассмотрим ниже. 4.6. Характеристики САУ и их элементов Для описания линейных стационарных систем и их элементов используют различные виды характеристик. Они являются или непосредственными вынужденными движениями систем и их элементов в зависимости от времени, или определяют соотношения параметров этих движений при подаче на вход типовых воздействий. К основным характеристикам относятся частотные и временные. 4.6.1. Частотные характеристики Частотные характеристики с физической точки зрения являются функциями параметров реакции САУ и ее элементов на гармонические воздействия. Для определения частотных характеристик рассмотрим решение уравнения (4.30) при Решение уравнения (4.30) имеет вид , где ya(t) - общее решение однородного уравнения; (t)- частное решение неоднородного уравнения. Составляющая уa(t) определяет свободные движения системы или переходной процесс, который со временем затухает, если система устойчива. Составляющая yb(t)определяет вынужденное движение системы под воздействием x(t) . Найдем yb(t) при заданном гармоническом воздействии x(t). Согласно формуле Эйлера, представим , (4.38) где , . (4.39) В силу принципа суперпозиции решение уравнения (4.30) можно представить как сумму yb(t)=yb1(t)+yb2(t), где yb1(t)- решение при x(t)=x1(t), yb2(t) - решение при x(t)=x2(t) Найдем отдельно каждое из этих решений. Для этого определим производные от x1(t) с учетом того,что . Тогда . . . . . . . . . . . . . . …………………………………….. (4.40) Уравнение (4.30) после его преобразования по Лапласу и подстановки в правую часть выражений (4.40) примет вид . На основе свойств неоднородного линейного дифференциального уравнения, частное решение будем искать в виде , (4.41) где оператор не зависит от времени. Тогда, подставляя (4.41) в (4.40), получим . Откуда . (4.42) Функцию , которую можно получить на основе передаточной функции W(s) при подстановке в нее , называют частотной передаточной функцией. Частотная передаточная функция является комплексной функцией от действительной переменной , где - частота синусоиды входного сигнала x(t). Функцию представим как , (4.43) где , (4.44) , (4.45) Тогда частное решение неоднородного уравнения (4.30) при x1(t) . (4.46) Аналогично получаем решение при x2(t) (4.47) Отсюда, в итоге Таким образом, для устойчивых систем и их элементов, находящихся под воздействием гармонического сигнала, после окончания переходного процесса выходная величина также изменяется по гармоническому закону с той же частотой, но с другой амплитудой и фазой. При чем А(w) является отношением амплитуд выходной и входной синусоид в зависимости от частоты гармоники. является сдвигом фазы выходной синусоиды относительно входной в зависимости от частоты гармоники. Частотную характеристику как комплексную функцию можно отобразить на комплексной плоскости в виде годографа (рис.4.3). При заданной будет изображаться точкой С. Модуль вектора . Угол. Кривая, которую описывает конец вектopа ОС при изменении от 0 до называют амплитудно-фазовой час­тотной характеристикой (АФЧХ) (рис.4.3), где U()- вещественная частотная функция; V() - мнимая частотная функция; A()=/W(j)/- амплитудно-частотная функция; ()=arg/W(jw)/- фазо частотная функция. Графики этих функций называют соответствующими частотными характеристиками исследуемой системы автоматического управления. Кроме перечисленных частотных характеристик, используют еще и логарифмические частотные характеристики. Логарифмическая амплитудно-частотная функция определяется как . График зависимости логарифмической амплитудно-частотной функции L() от логарифма частоты называют логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ). При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе. Для построения ЛАЧХ по оси ординат откладывают в дБ величину 20lgA() .Для построения ЛФХ по оси ординат откладывают значение . Шкалу частот по оси абсцисс разбивают в масштабе lg(), что позволяет на всем диапазоне частот выделить интервалы частот на октаву или на декаду. Особенность lgмасштаба состоит в том, что отрезок, изображающий октаву или декаду, имеет одну и ту же длину, не зависящую от частоты и равную соответственно lg 2 или I (pис.4.4): Рис .4.4 • Логарифмический масштаб где по оси абсцисс пишут не значение 1g(), а значение , по оси ординат откладывают L() =20 lg А() Логарифмической фазо-частотной характеристикoй (ЛФЧХ) называют график зависимости фазовой частотной функции от логарифма частоты (при построении графиков по оси абсцисс пишут не значение, а . Единица измерения L()- децибел (дБ), единица измерения - декада, которая определяется как интервал, на котором частотa изменяется в 10 раз. Ось ординат при построении ЛАЧХ строится через произвольную точку (обычно при =I). Зависимость (4.42) можно представить как , где (4.49) Откуда возможно получить аналитические зависимости для определения частотных характеристик на основе (4.43) и (4.49): - вещественная частотная функция; - мнимая частотная функция; - амплитудно-частотная функция; - фазовая частотная функция. 4.6.2. Временные характеристики Другой важной характеристикой автоматических систем или звеньев являются переходные и импульсные переходные функции, а так же их графики, которые называются временными характеристиками. Их используют при описании как стационарных, так и нестационарных линейных систем Переходной функцией системы (звена) называют функцию, описывающую изменение выходной величины системы (звена) при подаче на ее вход единичного ступенчатого воздействие при нулевых начальных условиях. Переходную функцию обычно обозначают h(t). Иначе, переходная функция h(t) есть функция, описывающая реакцию системы (звена) на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. Аналитически единичное ступенчатое воздействие можно описать так называемой единичной функцией . График переходной функции - кривая зависимости функции h(t) от времени t- называют переходной характеристикой. Импульсной переходной или весовой функцией (функцией веса) системы (звена) называют функцию, описывающую реакцию системы (звена) на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях; обозначают эту функцию через (t). График импульсной переходной функции называют импульсной переходной характеристикой. Переходную и импульсную переходную характеристику называют временными характеристиками. При определении весовой функции было использовано понятие единичного импульса. Физически единичный импульс можно представить как очень узкий импульс, площадь которого равна единице. Математически он описывается функцией , которую называют дельта функцией. Дельта-функция и единичная функция относятся к так называемым обобщенным функциям. Теория обобщенных функций - сравнительно новый раздел функционального анализа. Отметим, что в рамках теории обобщенных функций любые встречающиеся в приложении функции обладают производными любого порядка. В частности, существует производная и от единичной функции, которая равна дельта - функции, [1(t)]1= . Обладает производными любого порядка и сама дельта-функция. Перейдем к определению дельта-функции и ее производных. При этом воспользуемся тем обстоятельством, что при решении каких-либо практических задач, как правило, дельта-функция и ее производные встречаются только на промежуточных этапах различных соотношений. В окончательном результате они или вовсе отсутствуют, или фигурируют под знаком интеграла в произведении с какой-либо «обычной» функцией. По этому нет прямой необходимости отвечать на вопрос, что такое дельта-функция сама по себе, а достаточно ответить на вопрос, что означает интеграл от произведения дельта-функции или какой-либо ее производной и обычной функции. Руководствуясь приведенными соображениями, дельта-функцию можно определить так: дельта-функция есть функция, которая обладает следующими свойствами - (4.50) (4.51) Производные от дельта-функции можно определить по следующим соотношением: (4.52) (4.53) где - произвольное положительное число; - обычная функция, обладающая m-й производной; -m-я производная по времени от дельта-функции. Найдем изображение Лапласа от дельта-функции и ее производных. При этом преобразование Лaпласа будем трактовать как предельное соотношение (4.54) Используя соотношения (4.50)-(4,53), нетрудно получить , ,...,. (4.55) Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n- го порядка с постоянными коэффициентами в общем виде (4.56) В изображении Лапласа уравнение принимает вид , (4.57) где передаточная функция . Легко проверить, используя формулу (4.55) ,что уравнение (4.57) справедливо и в тех случаях, когда или . В соответствии с определением весовой функции при переменная. Так как , то (4.57) можно переписать как (4.58) Таким образом передаточная функция равна изображению Лапласа от весовой функции и соответственно (4.59) Последнюю формулу можно использовать для вычисления весовой функции. Установим связь между весовой и переходной функциями. Так как , то уравнение (4.57) при ,принимает вид: (4.60) Сравнив эту формулу с (4.59), нетрудно заметить, что . Так как при нулевых начальных условиях умножению изображения на s соответствует дифференцированию оригинала, то из последнего равенства получаем (4.61) Весовая и переходная функции, как и передаточная функция, являются исчерпывающими характеристиками системы (звена) , так как зная их аналитические выражения можно однозначно решить задачу анализа для любой САУ, а именно определить выходной сигнал при произвольном входном воздействии. Действительно, исходя из уравнения (4.57), с помощью теоремы о свертке можно записать (4.62) Эта формула, как и уравнение (4.57), справедлива только при нулевых начальных условиях. 4.7. Элементарные звенья САУ и их характеристики Звеном САУ называют математическую модель элемента или соединения элементов любой части системы. Звенья, как и системы, могут описываться дифференциальными уравнениями высокого порядка и в общем случае их передаточные функции могут быть представлены как . (4.63) Но их можно представить как соединения типовых или элементарных звеньев, порядок дифференциальных уравнений которых не выше второго. Из курса алгебры на основании теоремы Безу известно, что полином произвольного порядка можно разложить на простые множители вида , . (4.64) Поэтому передаточную функцию (4.63) можно представить, как произведение простых множителей вида (4.64) и простых дробей вида , , . (4.65) Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей (4.63) или простых дробей (4.64), называют типовыми или элементарными звеньями. Прежде чем переходить к изучению элементарных звеньев, вспомним формулы для модуля и аргумента комплексного числа. Пусть комплексное число представлено в виде отношения двух произведений комплексных чисел Так как , , то для модуля и аргумента комплексного числа имеем , . Таким образом, справедливо следующее правило модулей и аргументов комплексных чисел: модуль комплексного числа, представленного в виде отношения двух произведений комплексных чисел, равен отношению произведения модулей сомножителей числителя к произведению модулей сомножителей знаменателя, а его аргумент - разности суммы аргументов сомножителей числителя и суммы аргументов сомножителей знаменателя. Пропорциональное звено. Пропорциональным называют звено, которое описывается уравнением или передаточной функцией . Частотные и временные функции этого типового эвена имеют вид: , , , , , , . Ha рис. 4.5 представлены некоторые из характеристик пропорционального звена: амплитудно-фазовая частотная характеристика (4.5 а) - это точка К на действительной оси; фазовая частотная jV а) L(w) б) h(t) в) 20 lgK K KUwt Рис.4.5 Характеристики пропорционального звена характеристика (или АФЧХ) совпадает с положительной осью частот; логарифмическая амплитудная частотная характеристика (рис. 4.56) параллельна оси частот и проходит на уровне. Переходная характеристика (рис.4.5в) параллельна оси времени и проходит на уровне . Интегрирующее звено. Интегрирующим называют звено, которое описывается уравнением или передаточной функцией . Частотная передаточная функция . Остальные частотные и временные функции имеют вид: , , , , , , . АФЧХ (рис.4.6а) интегрирующего звена совпадает с отрицательной мнимой полуосью. ЛФЧХ (рис.4.66) параллельна оси частот и проходит на уровне : сдвиг фазы не зависит от частоты и равен . ЛАЧХ (рис.4.6б) - наклонная прямая, проходящая через точку с координатами и . Как видно из уравнения при увеличении частоты на I декаду ордината , уменьшается на 20 дБ. Поэтому наклон ЛАЧХ равен -20 дБ/дек (читается: минус двадцать децибел на декаду). Переходная характеристика представляет собой прямую, проходящую через начало координат с угловым коэффициентом наклона, равным k. (рис.4.6в). а) б) в) jVUL(w) (w) h(t) -20дб/дек 20lgK 0.1 1.0 warctgK -/2 t Рис 4.6 Характеристики интегрирующего звена Дифференцирующее звено. Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением или передаточной функцией . Частотные и временные функции этого звена имеют вид , , , , , , , . jV а) L(w) (w) б) +/2 20 lgK +20дб/дек U w 0,1 1,0 10 Рис.4.7 Характеристики дифференцирующего звена АФЧХ (рис 4.7а) совпадает с положительной мнимой полуосью. ЛФЧХ (рис 4.7б) параллельна оси частот и проходит на уровне , то есть сдвиг фазы не зависит от частоты и равен /2. ЛАЧХ есть прямая линия , проходящая через точку с координатами =1, и имеющая наклон 20 дБ/дек (читается: плюс двадцать децибел на декаду): увеличивается на 20 дБ при увеличении частоты на одну декаду. Апериодическое звено. Апериодическим эвеном первого порядка называют звено, которое описывается уравнением (4.66) или передаточной функцией . (4.67) Это звено также называют инерционным звеном первого порядка. Апериодическое звено в отличие от выше рассмотренных звеньев характеризуется двумя параметрами: постоянной времени T и передаточным коэффициентом k. Частотная передаточная функция . (4.68) Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю выражение, получим , . (4.69) Амплитудную и фазовую частотные функции можно определить, используя правило модулей и аргументов. Так как модуль числителя частотной передаточной функции (4.68) равен k, а модуль знаменателя ,то (4.70) Аргумент числителя равен нулю, а аргумент знаменателя . Поэтому Из (4.70) (4.71) Решив дифференциальное уравнение (4.66) при и нулевом начальном условии , получим переходную характеристику . Весовая функция или импульсная переходная характеристика . АФЧХ апериодического эвена (рис. 4.8а) есть полуокружность, в чем не трудно убедиться, исключив из параметрических уравнений (4.69) АФЧХ частоту . ЛАЧХ представлена на рис 4.8б. На практике обычно ограничиваются построением так называемой асимптотической ЛАЧХ (ломаная линия на том же рис 4.86). В критических случаях, когда небольшая погрешность может повлиять на выводы о состоянии исследуемой системы, рассматривают точную ЛАЧХ. Впрочем, точную ЛАЧХ можно легко построить по асимптотической ЛАЧХ, если воспользоваться следующей зависимостью (L- разность между асимптотической и точной ЛАЧХ): T= 0,10 0,25 0,40 0,50 1,0 2,0 2,5 4,0 10,0 L= 0,04 0,25 0,62 0,96 3,0 0,96 0,62 0,25 0,04 Частоту , при которой пересекаются асимптоты, называют сопрягающей частотой. Точная и асимптотическая ЛАЧХ Рио.4.8 Характеристики апериодического звена наиболее сильно отличаются при сопрягающей частоте; отклонение при этой частоте примерно 3 дБ. Уравнение асимптотической ЛАЧХ имеет вид: Оно получается из уравнения (4.71), если в нем под корнем при пренебречь первым слагаемым, а при - вторым слагаемым. Согласно полученному уравнению, асимптотическую ЛАЧХ можно строить следующим образом: на уровне частоты провести прямую, параллельно оси частот, а далее через точку с координатами и - прямую под наклоном - -20 дБ/дек. По АФЧХ или ЛАЧХ легко определить параметры Т и kаперио­дического звена (рис.4.86). ЛФЧХ изображена на рис. 4.86. Эта характеристика асимптотически стремится к нулю при и к при . При фазо- частотная функция принимает значение -, то есть . ЛФЧХвсех апериодических звеньев имеют одинаковую форму и могут быть получены на основе одной характеристики параллельным сдвигом вдоль оси частот влево или вправо в зависимости от значения постоянной времени T. Поэтому для построения ЛФЧХ апериодического звена можно воспользоваться шаблоном, представленном на рис.4.8г. Переходная характеристика апериодического звена (рис.4.8в) представляет собой экспоненциальную кривую, по которой можно определить параметры этого звена: передаточный коэффициент kопределяется по установившемуся значению ; постоянная времени T равна значению t, соответствующему точке пересечения касательной, построенной на переходной характеристике в начале координат, с ее асимптотой (рис 4.8в). Форсирующее звено. Форсирующим звеном или форсирующим звеном первого порядка называют звено, которое описывается уравнением , или передаточной функцией . Это звено, как и апериодическое, характеризуется двумя параметрами: постоянной времени Tи передаточным коэффициентом k. Частотная передаточная функция . Остальные частотные и временные функции имеют вид: , , , , , , . АФЧХ есть прямая, параллельная мнимой оси и пересекающая действительную ось в точке U=k.(рис. 4.9а). Как и в случае апериодического звена, на практике ограничиваются построением асимптотической ЛАЧХ. Частоту , соответствующую точке излома этой характеристики, называют сопрягающей частотой. Асимптотическая ЛАЧХ при параллельна оси частот и пересекает ось ординат при , а при имеет наклон +20дБ/дек. ЛФЧХ форсирующего звена можно получить зеркальным отображением относительно оси частот ЛФЧХ апериодического звена и для ее построения можно воспользоваться тем же шаблоном и номограммой, которые используются для построения последней. Колебательное, консервативное и апериодическое второго порядка звенья. Звено, которое можно описать уравнением (4.72) или в другой форме (4.73) где, , . Передаточная функция этого звена (4.74) Это звено является колебательным, если ;-консервативным, если ;- апериодическим звеном второго порядка, если . Коэффициент называют коэффициентом демпфирования. Колебательное звено . Частотная передаточная функция этого звена . Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное выражение, получим вещественную и мнимую частотные функции колебательного звена: , Фазовая частотная функция, как это видно из АФЧХ (рис 4.10б), изменяется монотонно от 0 до - и выражается формулой (4.75) ЛФЧХ (рис.410б) при асимптотически стремится к оси частот, а при к прямой . Ее можно построить с помощью шаблона. Но для этого необходимо иметь набор шаблонов, соответствующих различным значениям коэффициента демпфирования. Амплитудная частотная функция и логарифмическая амплитудно-частотная функция . Уравнение асимптотической ЛФЧX имеет вид (4.75) где - сопрягающая частота. Асимптотическая ЛАЧХ (рис.4.106) при параллельна осичастот, а при имеет наклон- -40 дБ/дек. Рис. 4.10 .Характеристики колебательного звена Следует иметь ввиду, что асимптотическая ЛАЧХ (рис 4.10б) при малых значениях коэффициента демпфирования довольно сильно отличается от точной ЛАЧХ. Точную ЛАЧХ можно построить по асимптотической ЛАЧХ, воспользовавшись кривыми отклонений точных ЛАЧХ от асимптотических (рис.4.10г). Решив дифференциальное уравнение (4.72) колебательного звена при и нулевых начальных условиях найдем переходную функцию. , где , , . Весовая функция . По переходной характеристике (рис.4.10в) можно определить параметры колебательного звена следующим образом.