Главная страница
Культура
Искусство
Языки
Языкознание
Вычислительная техника
Информатика
Финансы
Экономика
Биология
Сельское хозяйство
Психология
Ветеринария
Медицина
Юриспруденция
Право
Физика
История
Экология
Промышленность
Энергетика
Этика
Связь
Автоматика
Математика
Электротехника
Философия
Религия
Логика
Химия
Социология
Политология
Геология
Реферат
Лекция
Учебное пособие
Курсовая
Задача
Закон
Отчет
Протокол
Программа
Семинар
Глава

Лекции Общие понятия математики. Высказывания и операции над ними. Равносильные высказывания
Скачать 0.79 Mb.
Название Высказывания и операции над ними. Равносильные высказывания
Анкор Лекции Общие понятия математики.doc
Дата 30.04.2017
Размер 0.79 Mb.
Формат файла doc
Имя файла Лекции Общие понятия математики.doc
Тип Курс лекций
#4969
страница 7 из 9
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Глава 7. Математические доказательства

§ 1. Умозаключения и их виды



Умозаключение (рассуждение) – это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося.

Умозаключение состоит из посылок и заключения.

Посылки – это высказывания, содержащие исходное знание.

Заключение – это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного.

Пример 1. Если число оканчивается нулем, то оно делится на 10. Число 50 оканчивается нулем. Следовательно, число 50 делится на 10.

Пример 2. На основе примеров дети устанавливают, что 2 + 3 = 3 + 2, 4 + 5 = 5 + 4, 2 + 4 =
= 4 + 2, а затем на основе полученных знаний делают вывод, что для всех натуральных чисел а и b верно равенство: а + b = b + а.
Виды умозаключений

1. Дедуктивные умозаключения

Определение. Дедуктивным называется умозаключение, в котором заключение логически следует из посылок.

В дедуктивном умозаключении из посылок, выражающих знания большей степени общности следует заключение, выражающее знания меньшей степени общности (рассуждение ведется от общего к частному).

Если посылки умозаключения обозначить А1, А2, …, Ап, , а заключение буквой В, то схематично умозаключение можно представить в виде .

Пример дедуктивного умозаключения: «Все цветы – растения. Роза – цветок. Следовательно, роза – растение».
2. Индуктивные умозаключения

Определение. Неполная индукция – это умозаключение, в котором на основе того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса.

В индуктивных умозаключениях от знания меньшей степени общности переходят к новому знанию большей степени общности (т.е. от отдельных частных случаев – к общему суждению)

Индуктивные умозаключения обычно дают нам не достоверные, а лишь вероятностные (правдоподобные) заключения.

Пример. 2 + 3 < 2 · 3, 4 + 5 < 4 · 5, 7 + 8 < 7 · 8, т.е для некоторых натуральных чисел можно утверждать, что сумма меньше их произведения. На основании того, что некоторые числа обладают указанным свойством, делаем вывод о том, что этим свойством обладают все натуральные числа: ( а, bN) а + b = а · b. Это высказывание ложно; можно привести пример:
1 + 2 < 1 · 2.

Несмотря на то, что неполная индукция не всегда приводит к истинным выводам, роль таких умозаключений в процессе познания велика.

Определение. Полной индукцией называется такое умозаключение, в котором общее заключение о некотором классе предметов делается на основании изучения всех предметов этого класса.

Полная индукция дает достоверное заключение, поэтому часто применяется в доказательствах.

Чтобы использовать полную индукцию, надо:

  1. точно знать число явлений или предметов, подлежащих изучению;

  2. убедиться, что признак принадлежит каждому элементу этого класса;

  3. число элементов изучаемого класса должно быть невелико.

Пример: Простое число 11 – нечетное, простое число 13 – нечетное, простое число 17 – нечетное, простое число 19 – нечетное. Следовательно, все простые числа второго десятка – нечетные.

3. Умозаключения по аналогии

Термин «аналогия» означает сходство, соответствие.

Определение. Аналогия – умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

Вывод по аналогии носит характер предположения и нуждается в доказательстве или в опровержении.

Пример. В классе единиц – 3 разряда, в классе тысяч – 3 разряда, следовательно, в классе миллионов также 3 разряда.

§ 2. Схемы дедуктивных умозаключений



Умозаключение дает истинное заключение, если исходные посылки истинны и соблюдены правила вывода, или, как их еще называют, схемы дедуктивных умозаключений.

Рассмотрим наиболее часто использующиеся правила.

1. Правило заключения: .

В данном правиле А(х)  В(х) – общая посылка. Это может быть теорема, определение и, вообще предложение вида А(х)  В(х). Вторая посылка А(а) – частная посылка, а предложение В(а) – заключение.

Пример: Все числа, оканчивающиеся нулем, делятся на 10. Число 50 оканчивается нулем. Следовательно, число 50 делится на 10.

В основе этого правила лежит тождественно истинная формула ((АВ)  А) В).

Докажем тождественную истинность этой формулы при помощи таблицы истинности.

А
В
АВ
АВА
(АВА) В

И
И
И
И
И

И
Л
Л
Л
И

Л
И
И
Л
И

Л
Л
И
Л
И




  1. Правило отрицания: .

Пример. Если число делится на 6, то оно делится на 3. Число 28 не делится на 3. следовательно, число 28 не делится на 6.

В основе этого правила лежит тождественно истинная формула ((АВ)  ) ).

А
В
АВ


АВ


(АВ) 

И
И
И
Л
Л
Л
И

И
Л
Л
И
Л
Л
И

Л
И
И
Л
Л
И
И

Л
Л
И
И
И
И
И


3. Правило силлогизма: .

Пример. Все квадраты – ромбы. Все ромбы – параллелограммы. Следовательно, все квадраты – параллелограммы.

В основе правила лежит тождественно истинная формула (АВ)  ВС)  (АС).

А
В
С
АВ
ВС
(АВ)  (ВС)
АС
(АВ)  ВС)  (АС)

И
И
И
И
И
И
И
И

И
И
Л
И
Л
Л
Л
И

И
Л
И
Л
И
Л
И
И

Л
И
И
И
И
И
И
И

Л
Л
И
И
И
И
И
И

Л
И
Л
И
Л
Л
И
И

И
Л
Л
Л
И
Л
Л
И

Л
Л
Л
И
И
И
И
И


4. Правило контрапозиции: .

Пример. Если углы смежные, то их сумма равна 180о. Следовательно, если сумма углов не равна 180о, то углы не смежные.

В основе этого правила лежит тождественно истинная формула (АВ)  ().

А
В




АВ


(АВ)  ()

И
И
Л
Л
И
И
И

И
Л
Л
И
Л
Л
И

Л
И
И
Л
И
И
И

Л
Л
И
И
И
И
И


1   2   3   4   5   6   7   8   9
написать администратору сайта