Лекции Общие понятия математики. Высказывания и операции над ними. Равносильные высказывания
 Скачать 0.79 Mb.
|
Глава 2. Элементы теории множеств§ 1. Понятие множества. Элемент множества. Пустое множествоМножество – основное понятие математики и поэтому не определяется через другие. Обычно под множеством понимают совокупность предметов, объединенных по общему признаку. Так, можно говорить о множестве студентов в группе, множестве букв русского алфавита и т.д. В повседневной жизни вместо слова «множество» употребляют слова «набор», «коллекция», «группа» и т.д. Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, ..., Z. Для числовых множеств в математике приняты специальные обозначения: N – множество натуральных чисел; N0 – множество целых неотрицательных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; R – множество действительных чисел. Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами. Например, сентябрь является элементом множества месяцев в году, число 5 – элемент множества натуральных чисел. Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита. Элементами множества могут быть множества. Так можно говорить о множестве групп института. Элементы этого множества – группы, являющиеся в свою очередь множествами студентов. Связь между множеством и его элементом выражают при помощи слова «принадлежит». Высказывание «Элемент а принадлежит множеству А» записывают так: а А, причем эта запись может быть прочитана иначе: «а – элемент множества А», «множество А содержит элемент а». Высказывание «Элемент а не принадлежит множеству А» записывают так: а А (иначе: «а не является элементом множества А», «множество А не содержит элемент а»). Если в обыденной речи слово «множество» связывают с большим числом предметов, то в математике этого не требуется. Множество может содержать один элемент, не содержать ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом . Существует лишь одно пустое множество. Примерами пустого множества могут служить множество людей на Солнце, множество натуральных корней уравнения х + 8 = 0. Множества могут быть конечными и бесконечными. Множество называется конечным, если существует натуральное число п, такое, что все элементы множества можно перенумеровать числами от 1 до п. в противном случае множество называют бесконечным. Примером конечного множества является множество цифр, бесконечного – множество натуральных чисел. § 2. Способы задания множествМножество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Множество можно задать, перечислив все его элементы. Запись С = {а, б, в, г} обозначает, что множество С содержит элементы а, б, в, г. Каждый элемент входит в множество только один раз. Например, множество различных букв в слове «математика» запишется так: {м, а, т, е, и, к}. Данный способ применим для конечных множеств, которые содержат небольшое число элементов. Иногда, используя данный способ, можно задать и бесконечное множество. Например, множество натуральных чисел может быть представлено в виде: N = {1, 2, 3, 4, ...}. Такой способ записи возможен лишь тогда, когда из записанной части множества видно, что скрывается под многоточием. Другой способ задания множеств состоит в следующем: указывают характеристическое свойство его элементов. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество двузначных чисел, делящихся на 11 и множество натуральных чисел первой сотни, записанных двумя одинаковыми цифрами, содержат одни и те же элементы. При данном способе задания множество может быть записано так: в фигурных скобках пишут сначала обозначение элемента, затем проводят вертикальную черту, после которой записывают свойство, которым обладают элементы данного множества. Например, множество А натуральных чисел, меньших 5, запишется так: А = {ххN, х < 5}. § 3. Отношения между множествами. Графическая иллюстрация множествОпределение. Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно множествам А и В, то говорят, что эти множества пересекаются. Например, множества А = {1, 2, 3, 4} и В = {0, 3, 5} пересекаются, т.к. имеют общий элемент 3. На диаграмме пересекающиеся множества изображают следующим образом:  А В Определение. Множества А и В не пересекаются, если не имеют общих элементов. Множества А = {1, 2, 3, 4} и В = {0, 8, 5} не пересекаются. Если множества не пересекаются, то их изображают следующим образом:   А В Определение. Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначают: А = В. Например, множества А = {1, 2, 3} и В = {2, 3, 1} равны, т.к. состоят из одинаковых элементов. Таким образом, множество не изменится, если переставить его элементы. С понятием равных множеств связано следующее положение: одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств. Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В принадлежит множеству А (обозначают В А). Согласно данному определению, каждое множество является подмножеством самого себя. Кроме этого считают, что пустое множество есть подмножество любого множества. Само множество и пустое множество называют несобственными подмножествами; все остальные подмножества множества А, если они существуют, – собственные подмножества. Например, множество А = {1, 2, 3} имеет шесть собственных подмножеств А1 = {1}, А2 = {2}, А3 = {3}, А4 = {1, 2}, А5 = {1, 3}, А6 = {2, 3} и два несобственных подмножества А7 = {1, 2, 3} и А8 = . Доказано, что если множество состоит из п элементов, то у него 2п различных подмножеств. Если В А и А В, то А = В. Отсюда вытекает один из способов доказательства равенства множеств: если доказано, что любой элемент из множества А является элементом множества В и, в свою очередь, любой элемент из множества В является элементом множества А, то делают вывод, что А = В. Часто случается, что все множества, рассматриваемые в задаче, являются подмножествами одного и того же множества. Такое множество называют универсальным (обозначают I). Условимся изображать универсальное множество прямоугольником, а его подмножества – кругами в этом прямоугольнике. Описанный способ изображения множеств носит названия кругов Эйлера или диаграмм Венна. Мы будем подобные изображения называть диаграммами Эйлера-Венна. § 4. Операции над множествамиИз элементов двух и более множеств можно образовывать новые множества. 1. Пересечение множеств. Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множествам А и В одновременно (обозначают А В). Данное определение можно записать в таком виде: А В = {хх А х В}. На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.  А В Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что множества не пересекаются, и пишут А В = . Если элементы множеств А и В перечислены, то чтобы найти их пересечение, достаточно перечислить элементы, которые одновременно принадлежат множеству А и множеству В, т.е. их общие элементы. Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А В = {4, 5}. Если множества А и В заданы указанием их характеристических свойств, то в их пересечение войдут только те элементы, которые обладают одним и другим свойством одновременно. Например, если множество А – множество однозначных чисел, В – множество натуральных чисел, делящихся на 5, то множеству А В принадлежат натуральные числа, делящиеся на 5. 2. Объединение множеств. Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств (обозначают А В). Данное определение можно записать в таком виде: А В = {хх А х В}. Н  а диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.А В Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Рассмотрим случай, когда множества заданы указанием характеристического свойства. Пусть А – множество чисел, кратных 2; В – множество чисел, кратных 3. Тогда объединению этих множеств будут принадлежать числа, кратные 2 или 3. Понятие пересечения и объединения множеств можно обобщить на любое конечное число множеств. 3. Разность множеств. Определение. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В (обозначают А \ В). Данное определение можно записать так: А \ В = {хх А х В}. На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.  А ВЕсли А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А \ В = {1, 2, 3}. Часто приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из множеств является подмножеством другого. Если В А, то разность А \ В называют дополнением множества В до множества А (обозначают  ).Множество  на рисунке показано штриховкой. АВ Определение. Дополнением множества А до универсального называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат универсальному, но не принадлежат множеству А (обозначают  ).Например, если I – множество цифр, а множество А = {1, 2, 3, 4, 5}, то = {6, 7, 8, 9, 0}.Если множества заданы указанием характеристического свойства и В А, то множество с помощью характеристического свойства, общий вид которого «х А х В». Так, если А множество натуральных чисел, кратных 3, а В – множество натуральных чисел, кратных 9, то – это множество, содержащее натуральные числа, кратные 3, но не кратные 9.Мы рассмотрели различные операции над множествами. Часто для доказательства равенства множеств бывает необходимо знать, в каком случае элемент принадлежит тому или иному множеству. Для удобства составим таблицу.
Выясним, каков порядок выполнения действий над множествами. Пересечение множеств – более «сильная» операция, чем объединение, поэтому в выражении А В С вначале нужно найти пересечение множеств В и С, а затем найти объединение множества А с полученным множеством. Условились считать, что пересечение – более «сильная» операция, чем вычитание, поэтому в выражении А \ В С сначала находят пересечение множеств В и С, а затем полученное множество вычитают из множества А. Объединение и вычитание множеств считают равноправными, поэтому их выполняют в том порядке, в каком они записаны в выражении. § 5. Законы операций над множествами
А В = В Ç А А В = В È А
А Ç (В Ç С) = (А Ç В)Ç С А È (В È С) = (А È В) È С
А Ç (В È С) = (А Ç В)È (А Ç С) А È (В Ç С) = (А È В)Ç (А È С)
А È А = А
А ÈI= I
А È Æ= А
А È = I8.   9. А \ В = А Ç  10.  = АДокажем, что . Доказательство будем вести на основе свойства равенства множеств (А = В А В В А).Доказательство. Пусть х  х А В х А х В х х х   .Обратно, пусть х х х х А х В х А В х  .Т.к. и , то можно сделать вывод, что .Остальные законы можно доказать аналогично. Контрольные вопросы
§ 6. Число элементов объединения двух и трех конечных множествВ математике часто приходится решать задачи, в которых требуется определить число элементов в множестве, либо в объединении или пересечении множеств. Условимся число элементов конечного множества А обозначать п (А). Пусть А = {a, b, c, d}, п (А) = 4; В = {e, f}, п (В) = 2. Множества А и В не пересекаются, т.е. А В = . А В ={a, b, c, d, e, f}, п (А В) = 6, т.е. п (А В) = п (А) + п (В). Рассмотрим еще один пример. А = {a, b, c, d}, п (А) = 4; В = {c, d, e}, п (В) = 3. В данном примере множества А и В пересекаются, т.е. А В . А В = {a, b, c, d, e}, п (А В) = 5, т.е. п (А В) п (А) + п (В). Вообще, если заданы конечные множества, такие что А В , то число элементов в их объединении подсчитывают по формуле п (А В) = п (А) + п (В) – п (А В). Если даны три конечных множества А, В, С, то число элементов в их объединении можно найти по формуле: п (А В С) = п (А) + п (В) + п (С) – п (А В) – п (А С) – п (В С) + + п (А В С) § 7. Понятие разбиения множества на классыПонятие множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации. Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества. Определение. Множество А разбито на классы А1, А2, ..., Ап, если:
Если не выполнено хотя бы одно свойство, то классификацию считают неправильной. Например, если множество треугольников разбить на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные, то разбиение будет выполнено верно, т.к. выполнены все условия, данные в определении. Если из множества треугольников выделить подмножества равносторонних, равнобедренных и разносторонних треугольников, то разбиения мы не получим, т.к. множество равносторонних треугольников является подмножеством равнобедренных треугольников, т.е. не выполняется второе условие разбиения множества на классы. Пример 1. Пусть А – множество двузначных чисел. Рассмотрим на этом множестве свойство «быть четным».   АМ А1 А2 ножество А разбилось на два подмножества: А1 – множество четных чисел, А2 – множество нечетных чисел, при этом А1 А2 = А и А1 А2 = . Т.о. задание одного свойства приводит к разбиению этого множества на 2 класса. Пример 2. Пусть А – множество треугольников. Рассмотрим на данном множестве два свойства: «быть прямоугольным» и «быть равнобедренным». При помощи этих свойств из множества треугольников можно выделить 2 подмножества: В – множество прямоугольных треугольников и С – множество равнобедренных треугольников. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого. По рисунку видно, что получилось 4 класса: I  – В С – множество равнобедренных прямоугольных треугольников;II – В  – множество прямоугольных, но не равнобедренных треугольников;III – С – множество равнобедренных, но не прямоугольных треугольников;IV – – множество не равнобедренных и не прямоугольных треугольников.Т.о. с помощью двух свойств множество разбилось на 4 класса, таких, что их пересечение пусто, а их объединение составляет множество А. Следует отметить, что задание двух свойств приводит к разбиению множества на 4 класса не всегда. Пример 3. Пусть А – множество треугольников. Рассмотрим на данном множестве два свойства: «быть прямоугольным» и «быть остроугольным». При помощи этих свойств из множества треугольников можно выделить 2 подмножества: В – множество прямоугольных треугольников и С – множество остроугольных треугольников. Эти множества не пересекаются. По рисунку видно, что при помощи этих свойств множество треугольников разбивается на три класса: I  – множество прямоугольных треугольников;II – множество остроугольных треугольников; III – множество не прямоугольных, не остроугольных треугольников. Контрольные вопросы
|