Навигация по странице:
|
Лекции Общие понятия математики. Высказывания и операции над ними. Равносильные высказывания
Глава 3. Соответствия
Рассмотрим задачу: используя цифры 1, 2, 3, образуйте все возможные двузначные числа.
Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их следования (числа 12 и 21 различны).
В том случае, когда важен порядок следования элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементах. В данном случае имеем дело с упорядоченной парой.
Упорядоченную пару, образованную из элементов а, b обозначают (а; b).
а – первая компонента пары, b – вторая компонента пары.
Определение. Пары (а; b) и (с; d) равны тогда и только тогда, когда а = с и b = d.
В школьном курсе математики мы встречались с упорядоченными парами при использовании прямоугольной системы координат, в которой каждая точка имеет координаты, представляющие собой пару чисел.
Задача. А = {1; 2}, В = {5; 6}. Составьте все возможные двузначные числа, число десятков которого принадлежит множеству А, а число единиц – множеству В.
Такими числами будут 15, 25, 16, 26.
В процессе решения этой задачи из двух данных множеств А и В образовано новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел (1; 5), (2; 5), (1; 6), (2; 6). Это новое множество называют декартовым произведением множеств А и В.
Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.
Записывают: А В = {(а; b)а А, bВ}
Пример. А = {1; 2}, В = {3; 4}. А В = {(1; 3); (2; 3); (1; 4); (2; 4)}; В А = {(3; 1); (3; 2); (4; 1); (4; 2)}. А В В А, следовательно, декартово умножение не обладает свойством коммутативности.
Аналогично рассуждая, можно показать, что для этой операции не выполняется свойство ассоциативности.
Декартово произведение множеств есть множество, поэтому, как и всякое множество, его можно задать перечислением и указанием характеристического свойства.
Элементы декартова произведения удобно записывать при помощи таблицы:
-
В
А
|
3
|
4
|
1
|
(1; 2)
|
(1; 4)
|
2
|
(2; 3)
|
(2; 4)
|
Каждый элемент множества А В записывается в клетке, стоящей на пересечении соответствующей строки и столбца. Т.о. множество клеток этой таблицы представляет собой декартово произведение множеств А В.
Декартово произведение множеств можно задать также
у
4
3
В
А
         
1 2 х
графом и графиком
§ 2. Соответствие между элементами множеств. Способы задания соответствий
Учащимся некоторого класса был задан вопрос, какие кружки они посещают. Их ответы были занесены в таблицу:
-
|
Музыкальный
|
Рисования
|
Танцевальный
|
Выжигания
|
Артем
|
|
|
|
|
Борис
|
|
|
|
|
Виктор
|
|
|
|
|
Из таблицы видно, что Артем посещает 3 кружка, а Виктор только один; больше всего из опрошенных посещают кружок рисования и никто из них не посещает кружок выжигания…
В данном примере рассматриваются два множества: Х = {А; Б; В} – множество имен и Y= {м; р; т; в} – множество названий кружков.
При помощи слов «посещать какой-либо кружок» между элементами этих множеств установлена некоторая связь, или, как говорят в математике, соответствие. В таблице это соответствие выделено заштрихованными клетками, а множество всех клеток таблицы является декартовым произведением множеств Х и Y.
Соответствие между множествами Х и Y мы установили, имея 3 множества: множество Х – множество имен, множество Y– множество названий кружков и подмножество декартова произведения Х Y.
Определение. Соответствием между множествами Х и Y называется любое подмножество R декартова произведения множеств Х и Y.
Множество Х называют множеством отправления соответствия, множество Y– множеством прибытия соответствия.
Если пара (х; у) R, то говорят, что элемент у соответствует элементу х; у является образом элемента х; х является прообразом элемента у.
Определение. Множество всех первых компонент пар, входящих в соответствие, называется областью определения соответствия.
Определение. Множество всех вторых компонент пар, входящих в соответствие, называется областью значений соответствия.
Т.к. соответствие – подмножество декартова произведения, то способы задания соответствий такие же, как и для декартова произведения.
Пример. Х = {2; 3; 5; 7}, Y= {6; 9; 15; 17}
R – «х – делитель у» – соответствие задано указанием характеристического свойства;
R = {(2; 6); (3; 6); (3; 9); (3; 15); (5; 15)} – соответствие задано перечислением. Также соответствие можно задать таблицей:
-
г
у
17
15
9
6
 рафом: графиком:
Х Y
2 3 5 7 х
В нашем примере элементу 3 соответствует три элемента множества Y – 6, 9 и 15. Множество, состоящее из чисел 6, 9 и 15, называют образом элемента 3.
В общем случае, образ элемента х из множества Х определяется как множество всех элементов у Y, соответствующих элементу х.
Число 6 соответствует двум элементам множества Х – числам 2 и 3. Множество, состоящее из чисел 2 и 3, называют полным прообразом элемента 6 из множества Х.
В общем виде: полный прообраз элемента уYопределяют как множество элементов х Х, таких что элементу х соответствует элемент у.
Определение. Множество всех элементов из множества Х, имеющих непустые образы, называется областью (множеством) определения соответствия R.
Определение. Множество всех элементов из множества Y, имеющих непустой полный прообраз, называется множеством значений соответствия R.
В нашем примере: {2; 3; 5} – множество определения; {6; 9; 15} – множество значений.
Понятие соответствия между множествами относится к числу фундаментальных понятий математики. Оно лежит в основе определения таких важнейших понятий математики, как функция и отображение. Кроме того, в любой науке изучаются не только сами объекты, но и связи между ними.
§ 3. Взаимно однозначное соответствие
Определение. Отображением fмножества Х в множество Y называется такое соответствие между множествами Х и Y, при котором каждому элементу х Х соответствует единственный элемент уY.
Определение. Если множество значений отображения fсовпадает с множеством прибытия этого отображения, то f называют отображением множества Х на множество Y. В математике такое отображение называется сюръективным.
Определение. Если полный прообраз каждого элемента уY содержит не более одного элемента (может быть и пустым), то такое отображение называется инъективным.
Определение. Отображение, обладающее свойствами инъективности и сюръективности, называется взаимно однозначным.
Другими словами: отображение f множества Х на множество Y называется взаимно однозначным, если двум различным элементам х1 и х2 множества Х соответствует два различных элемента у1 и у 2 множества Y.
П ример. Х – множество вершин треугольника АВС, Y– множество сторон треугольника АВС.
с а
b
Поставим в соответствие каждой вершине треугольника его сторону, лежащую напротив этой вершины. Данное отображение взаимно однозначно, при этом каждый элемент множества Х имеет единственный образ, а каждый элемент множества Y– единственный прообраз.
§ 4. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества
Определение. Два множества Х и Yравномощны, если существует взаимно однозначное отображение множества Х на множество Y. (Обозначают: Х Y).
Пример. Множество сторон четырехугольника и множество его углов.
Понятие равномощности применимо как к конечным, так и к бесконечным множествам.
Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов (равномощные конечные множества называют равночисленными).
Рассмотрим примеры равномощных бесконечных множеств: N– множество натуральных чисел, А – множество четных натуральных чисел (А N). Каждому натуральному числу поставим в соответствие число, которое больше его в 2 раза:
1 2 3 4 5…
2 4 6 8 10 …
Установленное соответствие взаимно однозначно, т.к. каждому натуральному числу соответствует единственное число из множества Yи наоборот: каждое число из множества Yсоответствует единственному натуральному числу. Следовательно, множество натуральных чисел равномощно множеству четных натуральных чисел.
Определение. Бесконечное множество, равномощное множеству натуральных чисел, называется счетным.
Примеры счетных множеств: целых чисел, целых неотрицательных чисел, любое подмножество каждого из этих множеств.
Теорема (без доказательства). Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно.
Примеры несчетных множеств: множество всех действительных чисел, множество всех точек на прямой, множество всех точек плоскости.
Контрольные вопросы
Дайте определение декартова произведения множеств.
Перечислите способы задания декартова произведения множеств.
В каком отношении находятся множества X × Yи Y× X?
Что называют соответствием между множествами Х и Y?
Какое множество называют областью отправления, областью прибытия, областью определения и множеством значений соответствия?
Перечислите способы задания соответствий.
Какое соответствие называют отображением множества Х в множество Y; отображением множества Х на множество Y?
Какое соответствие называют взаимно однозначным соответствием?
Какие множества называют равномощными? В каком случае равномощны конечные множества?
Какие множества называют счетными? Приведите примеры счетных и несчетных множеств.
§ 5. Определение числовой функции. Способы задания функций. Свойства функций
На рисунке дан граф соответствия между множествами
Х = {а; b; с; d; е}, Y= {1; 2; 3; 4; 5}. Данное соответствие таково, что не у каждого элемента множества Х есть соответствующий элемент множества Y, но если есть, то он единственный.
А = {а; b; с} – множество тех элементов, для которых есть соответствующий элемент в множестве Y. Заметим, что каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества Y.
Определение. Соответствие между множествами Х и Y, где каждому элементу множества Х соответствует не более одного элемента множества Y, называется функциональным соответствием или функцией.
Функции обозначают буквами латинского алфавита f, g, h и др. и пишут: у = f (х).
х – независимая переменная или аргумент, все значения, которые принимает независимая переменная – область определения функции.
Пусть дана функция f с областью определения А Х, где Х – множество отправления функции f. Множество прибытия обозначим Y.
Элемент у Y, соответствующий элементу х А, называют значением функции f и пишут у = f (х).
Определение. Множество всех у Y, которые являются значениями функции f, называют множеством значений функции f.
Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.
Пример. Пусть дана функция f (х) =  . Областью определения функции f (х) является множество R\ {2}.
Способы задания функций
Аналитическое задание функции – задание функции с помощью формулы у = f (х), где f (х) – некоторое выражение в переменной х.
Табличное задание функции – приводится таблица, указывающая значение функции для имеющихся в таблице значениях аргумента. Этот способ часто используется на практике, когда зависимость одной величины от другой находят опытным путем; оказывается удобным, т.к. позволяет найти значение функции для имеющихся в таблице значений аргумента без вычислений.
Графическое задание функции. Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.
Свойства функций
Четные и нечетные функции
Определение. Функция у = f (х) называется четной, если для любого элемента х из области определения функции выполняется равенствоf (– х) = f (х).
Определение. Функция у = f (х) называется нечетной, если для любого элемента х из области определения функции выполняется равенствоf (– х) = – f (х).
Из определений следует, что область определения Х как четной, так и нечетной функции должна обладать следующим свойством: если х Х, то – х Х.
График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Возрастающие и убывающие функции
Определение. Функция у = f (х) называется возрастающей на промежутке Х, если х1, х2 Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f (х1) <f (х2).
Определение. Функция у = f (х) называется убывающей на промежутке Х, если х1, х2 Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f (х1) >f (х2).
Определение. Функция называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает.
§ 6. Виды функций
Постоянная функция.
Определение. Постоянной называется функция, заданная формулой у = b, где b - некоторое число.
у = b
  у
Графиком является прямая, параллельная ости абсцисс и проходящая через точку с координатами (0; b).
 х
Прямая пропорциональность.
Определение. Прямой пропорциональностью называется функция,
заданная формулой у = k х, где k 0. Число kназывают коэффициентом
пропорциональности.
Свойства функции у = k х
Область определения – множество всех действительных чисел.
Множество значений – множество всех действительных чисел.
Функция нечетная, т.к. f (– х) = k∙(– х) = – k х = – f (х).
При k> 0 функция возрастает, при k <0 функция убывает.
Графиком прямой пропорциональности у = k х является прямая, проходящая через начало координат (если k > 0, то график расположен в первой и третьей четверти; если k < 0 – во второй и четвертой).
Свойство прямой пропорциональности: если функция f (х) – прямая пропорциональность, и (х1; у1), (х2; у2) – пары соответствующих значений, причем х2 0, то  . Действительно, у1 = k х1, у2 = k х2. Т.к. х2 0, то у2 0. Тогда  .
Если х > 0 и у > 0, то свойство прямой пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается во столько же раз; с уменьшением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается во столько же раз.
3. Обратная пропорциональность
Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, заданная формулой у =  , где k 0. Число k – коэффициент обратной пропорциональности.
Свойства функции у =
Область определения: (- ; 0) (0; +)
Множество значений: R \ {0}.
Функция нечетная, т.к. f (– х) =  = – = – f (х).
При k> 0 функция убывает на промежутке (-; 0) (0; +), при k <0 функция возрастает на промежутке (-; 0) (0; +).
Графиком обратной пропорциональности является гипербола; при k> 0 график расположен в первой и третьей четверти, при k <0 график расположен во второй и четвертой четверти. Чтобы построить график, надо составить таблицу значений функции.
Свойство обратной пропорциональности: если функция f (х) – обратная пропорциональность, и (х1; у1), (х2; у2) – пары соответствующих значений, причем х2 0, у1 0, то  . Действительно, у1 =  , у2 =  . Тогда  .
Если х > 0 и у > 0, то свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается во столько же раз; с уменьшением значений переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается во столько же раз.
4. Линейная функция
Определение. Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой у = k х + b, где kи b – некоторые действительные числа.
Если k = 0, то получаем постоянную функцию, если b = 0, то получаем прямую пропорциональность у = k х.
Свойства:
Область определения – все действительные числа.
Множество значений – все действительные числа.
Функция не является ни четной, ни нечетной.
При k> 0 функция возрастает, при k< 0 функция убывает на всей числовой прямой.
-
Графиком линейной функции у = k х + b является прямая. Положение этой прямой на плоскости определяют коэффициенты k и b. Если k> 0, то угол между осью абсцисс и графиком функции острый, если k< 0, то угол тупой. Заметим, что чем больше модуль числа k, тем ближе прямая к оси ординат. Коэффициент b есть значение отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат.
Пусть даны две линейные функции у = k1 х + b1и у = k2 х + b2. Прямые, являющиеся графиками данных функций, пересекаются, если k1 k2; параллельны, если k1 =k2; совпадают, если k1 =k2 и b1 = b2.
5. Квадратичная функция
Определение. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой у = ах2 + bx + с, где х – независимая переменная; а, b, с – некоторые числа, причем а 0.
Рассмотрим частный случай у = ах2. Графиком является парабола. Если а = 1, то формула примет вид у = х2, и график проходит через точки (0; 0), (1; 1), (-1; 1), (2; 4), (–2; 4) (постройте график самостоятельно)
График функции у = ах2 можно получить из графика функции у = ах2 сжатием к оси ординат, если а > 1 и сжатием к оси абсцисс, если 0 < а < 1.
Свойства функции у = ах2 (а > 0):
Область определения – вся числовая прямая.
Множество значений [0; + )
Функция четная.
Убывает на (–; 0), возрастает на (0; +).
График – парабола, проходящая через точку (0; 0).
Наименьшее значение принимает в точке (0; 0), наибольшего значения нет.
График функции у = – х2 получают из параболы у = х2 путем осевой симметрии относительно оси абсцисс.
Рассмотрим функцию у = ах2 + bx + с.
ах2 + bx + с = а(х2 +  х +  ) = 
Получим формулу вида у = а(х – т)2 + п.
Графиком является парабола с вершиной в точке (т; п), где т =  , п =  .
Осью симметрии является прямая х = т, параллельная оси ординат; если то ветви направлены вверх, если а < 0, то ветви направлены вниз.
Свойства квадратичной функции у = ах2 + bx + с:
Область определения – вся числовая прямая.
Множество значений: при а > 0 –  , при а < 0– 
Если b≠ 0, то функция не является ни четной, ни нечетной.
При а > 0 убывает на (–; ), возрастает на промежутке (; +); при а < 0 возрастает на промежутке (–; ), убывает на промежутке (; +).
Примеры построения графиков квадратичных функций.
Первый способ.
Пусть требуется построить график функции у = х2 + 4х + 5.
Выполним преобразования: х2 + 4х + 5 = (х2 + 8х + 10) = (х2 + 8х + 16 + 10 – 16) = = (х + 4)2 – 3.
Выполним параллельный перенос плоскости, поместив начало новой системы координат в точку О´(– 4; – 3) и построим в этой системе координат график функции у =х2.
Можно было воспользоваться формулами: х0 = =  = – 4; у0 =  =  .
Второй способ – построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трехчлена.
Пусть требуется построить график функции у = х2 – 4х + 5.
Найдем точки графика, имеющие ординату 5. для этого решим уравнение х2 – 4х + 5 = 5.
Имеем: х2 – 4х = 0; х(х – 4) = 0, откуда х1 = 0; х2 = 4.
Точки А(0; 5) и В(4; 5) имеют одинаковую ординату, следовательно они симметричны относительно прямой х = 2. Если х = 2, то у = 4 – 8 + 5 = 1, т.е. вершина параболы имеет координаты (2; 1).
Третий способ – построение параболы по корням квадратного трехчлена.
Пусть х1 и х2 = корни квадратного трехчлена ах2 + bx + с, тогда график пересекает ось абсцисс в точке А(х1; 0) и В(х2; 0), а ось симметрии проходит перпендикулярно отрезку АВ через его середину, следовательно абсциссу вершины находим по формуле х0 =  .
§ 7. Обратная функция
Пусть функция у = f (х) задает инъективное отображение числового множества Х в множество действительных чисел R (т.е. различным значениям аргумента соответствую различные значения функции).
Пусть Y – множество значений функции у = f (х), где х Х. Тогда для любого у0 Y найдется единственное значение х0 Х, такое, что у0 = f (х0). Этим определяется отображение Yна Х, т.е. функция х = φ(у), у Y. Такую функцию называют обратной для функции у = f (х), где х Х.
Чтобы найти выражение для обратной функции, надо выразить х через у и затем поменять их местами.
Замечание 1. Если отображение у = f (х) не является инъективным, то обратной функции не существует.
Замечание 2. Если функция у = f (х) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем она определена и возрастает (убывает) на Y.
Пример 1. Функция у = х2 (х R) не имеет обратной, т.к., например, значениям х = 5 и х = – 5 соответствует одно и то же значение у = 25.
Пример 2. Функция у = 2х – 1 (х R) возрастает на всей числовой прямой, значит у нее есть обратная функция. Чтобы ее найти, надо из формулы у = 2х – 1 выразить х. Получим х =  .
Поменяем х и у местами. у =  – искомая обратная функция.
Контрольные вопросы
Дайте определение числовой функции. Перечислите способы задания функций.
Какое множество называют областью определения и множеством значений функции?
Какое множество точек координатной плоскости называют графиком функции?
Дайте определения постоянной функции, прямой пропорциональности, обратной пропорциональности, линейной функции, квадратичной функции и укажите их свойства.
</0></0></0>
|
|
|
Скачать 0.79 Mb.
