Основы теории Стохастических систем (лекции). Основы теории стохастических систем
 Скачать 18.19 Mb.
|
|
«Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых» (ВлГУ) Кафедра информационных систем и информационного менеджмента Макаров Р.И ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ Конспект лекций Владимир 2012 оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ………………………………………………………. 6 Лекция 1 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ…… 10 1.1Общие сведения о системах……………………………………… 10 1.2 Основные задачи теории стохастических систем ……………… 14 1.3 Моделирование сложных (стохастических) систем…………… 15 Контрольные вопросы…………………………………………… 21 Лекция 2 Случайные события …………………………………………… 22 2.1 Испытание. Поле событий. Операции над событиями ……….. 22 2.2 Частость и вероятность …………………………………………… 25 2.3 Основные аксиомы теории вероятностей ……………………… 29 2.4 Элементы теории вероятностей ………………………………… 34 Контрольные вопросы …………………………………………… 37 Лекция 3 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ …………………………………………. 38 3.1 Определения случайной величины …………………………… 38 3.2 Законы распределения дискретных случайных величин ……… 43 Контрольные вопросы…………………………………………… 46 Лекция 4 непрерывные случамйные величины …………………47. 4.1 Законы распределения непрерывных случайных величин. Экспоненциальный закон распределения ……………………… 47 4.2 Нормальный закон распределения ……………………………… 47 4.3 Распределение хи – квадрат ……………………………………… 53 4.4 Распределение Стьюдента ………………………………………. 54 4.5 Распределение Фишера …………………………………………… 55 Контрольные вопросы…………………………………………… 56 Лекция 5 многомерное распределение дискретных и непрерывных случайных величин………………………………… 57 5.1 Параметры многомерных распределений………………………… 57 5.2 Двумерное нормальное распределение …………………………… 60 5.3 Закон больших чисел ………………………………………………. 62 5.4 Основные предельные законы теории вероятностей …………… 63 Контрольные вопросы …………………………………………… 65 Лекция 6 Оценивание параметров. Статистическая проверка гипотез……………………………………………. 66 6.1 Описательная статистика …………………………………………. 66 6.2 Оценивание параметров ………………………………………….. 70 6.3 Проверка статистических гипотез ……………………………..... 73 6.4 Критерий значимости при нормальном распределении ………...75 6.5 Критерий значимости при биноминальном распределении…….78 6.6 Критерии согласия………………………………………………… 79 Контрольные вопросы……………………………………………... 79 Лекция 7 случайные процессы и их аналитическое описание ………. 81 7.1 Одномерный закон распределения мгновенных значений случайной функции и связанные с ним основные характеристики……… 82 7.2 Многомерный закон распределения мгновенных значений случайной функции и связанные с ним основные характеристики ………86 7.3 Гауссовский случайный процесс ………………………………. … 90 7.4 Определение статистических оценок математического ожидания и корреляционной функции случайного процесса………………… 92 7.5 Стационарные случайные процессы ………………………………. 93 Контрольные вопросы………………………………………………. 94 Лекция 8 КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ…………………………………… 96 8.1 Функциональные и корреляционные связи между переменными..96 8.2 Корреляционный анализ …………………………………………… 98 Контрольные вопросы …………………………………………… 108 Лекция 9 ДИСПЕРСИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗЫ…….... 110 9.1 Дисперсионный анализ…………………………………………… 110 9.2 Регрессионный анализ. Множественная регрессия……………… 113 Контрольные вопросы …………………………………………… 121 Лекция 10 стохастическое программирование……………….. 123 10.1 Линейное программирование……………………………………..123 10.2 Стохастическое программирование……………………………....125 10.3 Формальная постановка стохастической задачи………………... 127 10.4 Методы решения задач стохастического программирования… 128 Контрольные вопросы………………………………………………129 Лекция 11 Особенности решения одноэтапных задач стохастического программирования……….….. 131 11.1 Моделирование систем массового обслуживания……………. 131 11.2 Основы теории статистических решений. Статистические игры …………………………………………… 134 Контрольные вопросы………………………………………… 137 Лекция 12 Введение в теорию нечетких множеств. Выбор при нечеткой исходной информации… 138 12.1 Введение в теорию нечетких множеств ………………………. 138 12.2 Задача достижения нечеткой цели …………………………….. 142 Контрольные вопросы…………………………………………. 144 Лекция 13 ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ МНОГОЭТАПНЫХ ЗАДАЧ СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ……………… 145 13.1 Моделирование в условиях противодействия, модели торгов… 145 13.2 Методы анализа больших систем, планирование экспериментов ……….150 Контрольные вопросы…………………………………………. 156 Лекция 14 АДАПТАЦИОННАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ……………………………. 157 14.1 Постановка задачи адаптационной оптимизации ……………… 157 14.2 Симплекс планирование ………………………………………… 159 Контрольные вопросы …………………………………………… 162 Лекция 15 Имитационное моделирование стохастических систем……………………………………………………… …….. 164 15.1 Модели и моделирование. Общие понятия…………………… 164 15.2 Методы статистического моделирования ……………………. 166 15.3 Имитационное моделирование непрерывных процессов …….169 15.4 Имитационное моделирование процесса стекловарения в производстве листового стекла флоат-способом…………… 177 Контрольные вопросы …………………………………………… 181 Список литературы ………………………………………………. 182 предисловие Изучение дисциплины обеспечивает подготовку бакалавра по математическому и естественнонаучному циклу. Она способствует формированию у обучаемых представления об основах теории стохастических систем и стохастических процессов в приложениях к информационным системам и информационным технологиям. Целью освоения дисциплины является рассмотрение основ теории стохастических систем, теории случайных процессов и некоторые их приложении в области информационные системы и технологии. В процессе освоения данной дисциплины студент формирует и демонстрирует следующие профессиональные компетенции:
Задачи дисциплины: Повысить уровень компетенции студентов за счет вооружения соответствующими знаниями и практическими умениями в вопросах моделирования и управления стохастическими системами на основе применения современных моделей и технологий. Рассмотреть широкий круг вопросов по методами описания стохастических систем, используемых при разработке математического обеспечения информационных систем. Дисциплина должна способствовать более глубокому пониманию студентами практических проблем, возникающих при создании информационных систем. Дисциплина является базовой частью профессионального цикла. Изучение дисциплины основано на умениях и компетенциях, полученных студентом при изучении дисциплин «Математика», «Информатика», «Основы алгоритмизации и программирования», является предшествующей для профессиональных дисциплин «Вычислительная математика», «Моделирование информационных систем». Процесс изучения дисциплины направлен на формирование и развитие основных
В результате освоения дисциплины обучающийся должен демонстрировать следующие результаты образования:
Лекция 1 Общие сведения о стохастических системах  1.1 Общие сведения о системах В практических задачах системой обычно называют любую совокупность взаимодействующих предметов любой природы. Примерами систем являются окружающий нас мир или какая-либо часть, завод, вычислительная машина, летательный аппарат и т.д. Всякая система, взаимодействуя с окружающей средой, что-то получает извне и после переработки что-то отдает в окружающую среду, в частности другим системам. В этом заключается функционирование системы [3]. Обычно говорят, что система на входе получает определенные данные, на выходе выдает некоторые другие. Вычислительная машина на входе получает числовые данные, а на выходе выдает переработанные данные в виде полезной информации. В настоящее время решающую роль в разработке, совершенствовании и эксплуатации различного рода сложных систем, таких, например, как системы обработки информации, управления и информационные системы, играет математическое моделирование с применением современных вычислительных и программных средств. Первым шагом в построении математической модели системы является математическое описание того, что система получает на входе и выдает на выходе. Величины, определяющие внешнее воздействие на систему, называются входными сигналами. Величины, определяющие действие системы на окружающую среду, на другие системы, называются выходными сигналами. Кроме входных и выходных сигналов для построения математической модели системы приходится вводить некоторые вспомогательные величины, характеризующие действия различных частей системы друг на друга (внутренние взаимодействия частей системы). Все эти величины, характеризующие состояние системы в каждый данный момент времени, называются переменными состояния системы. Множество всех возможных входных сигналов системы называют ее пространством входных сигналов. Множество всех возможных выходных сигналов – пространством выходных сигналов. Вектором состояния называют всю совокупность переменных состояния системы. Входные и выходные сигналы системы как определенные функции времени, а также изменение вектора состояния со временем характеризуют функционирование или состояние системы. Основной характеристикой системы является ее оператор, определяющий механизм формирования выходного сигнала по данному входному сигналу. Оператор детерминированной системы ставит в соответствие каждому входному сигналу один определенный выходной сигнал – т.о. отображает пространство входных сигналов X в пространство выходных сигналов Y.  Соотношение между входными и выходными сигналами детерминированной системы можно записать в виде операторного уравнения : у(t) = Ax(t). Детерминированная система называется физически возможной, если значение ее выходного сигнала у(t) в каждый момент времени t не зависит от значений входного сигнала x(τ) при τ>t. Таким образом, значение выходного сигнала физически возможной системы у(t) в каждый момент tявляется функционалом от входного сигнала x(τ), заданного в интервале t0≤ τ≤ t. В практических задачах приходится встречаться с различными математическими описаниями входных и выходных сигналов. Так, в автоматических системах входные и выходные сигналы с математической точки зрения представляют скалярные или векторные функции, в конечных автоматах – логические переменные, в системах массового обслуживания – потоки событий, в системах распознавания – изображения и др. образы. В стохастических системах входные и выходные сигналы считаются элементами произвольных абстрактных пространств. Действие системы состоит в том, что данному элементу xпространства входных сигналов Х она ставит в соответствие некоторый элемент у пространства выходных сигналов Y. Стохастической системой называется такая система, которая ставит в соответствие любому входному сигналу x€Xопределенное распределение вероятностей в пространстве выходных сигналов Y. Поведение стохастической системы описывается переходной вероятностью μy = μ(Ey|x) принадлежности выходного сигнала множеству Ey€Yпри данном входном сигнале x€X. Функция μyназывается условно вероятностной мерой или решающей функцией системы. При каждом x€X она представляет собой нормированную меру, определенную на некоторой σ – алгебре Bмножеств пространства Y, и при каждом множестве Ey€Bявляется функцией переменной х, измеримой относительно σ – алгебры А пространства Х. Решающая функция – это достаточно полная вероятностная характеристика стохастической системы. В приложениях часто ограничиваются менее полными характеристиками, например условными многомерными плотностями и характеристическими функциями, условными моментами различных порядков. Стохастическая система называется физически возможной, если распределение значения ее выходного сигнала Y(t) в любой момент t не зависит от значений входного сигнала x(τ) при τ>t. Пусть задан некоторый невозмущенный входной сигнал x(t) системы и пусть у(t) – соответствующий ему выходной сигнал, который назовем невозмущенным. Всякий другой сигнал x|(t) будем называть возмущенным входным сигналом, а соответствующий ему выходной сигнал – у|(t) – возмущенным выходным сигналом. Отклонение входного и выходного сигналов от невозмущенных определим как Δx(t)=x|(t)-x(t) и Δ у(t)= у|(t)- у(t). Стохастическая система называется устойчивой относительно заданного невозмущенного сигнала почти наверное (с вероятностью 1), если отклонение ее выходного сигнала ΔY(t) сколь угодно мало с вероятностью 1 при любом достаточно малом отклонении входного сигнала Δx(t). Стохастическая система называется устойчивой относительно заданного невозмущенного сигнала в р-среднем, p>0, если математическое ожидание M| ΔY(t)|p остается сколь угодно малым при всех достаточно малых отклонениях входного сигнала Δx(t). Из устойчивости почти наверно вытекает устойчивость по вероятности. Наибольшее значение для приложений имеет понятие устойчивости почти наверное (устойчивость для всех реализаций происходящих в системе процессов). В практических задачах ограничиваются устойчивостью в среднем (р=1) и в среднем квадратическом (р=2). При исследовании стохастических систем следует учитывать, что связи в этих системах в общем случае также являются стохастическими в смысле, что они могут случайно возникать и нарушаться в процессе работы системы. Поток событий, управляющий случайными изменениями связей в сложной системе или изменением состояния системы, можно рассматривать как выходной сигнал некоторой стохастической системы и в то же время как дополнительную компоненту входного сигнала данной системы. Это дает возможность свести систему со случайными изменениями связей к последовательному соединению двух систем. Пример. Рассмотрим системы со случайно изменяющейся структурой. Ими еалиются стохастические системы, которые описываются различными уравнениями в разных областях пространства состояния. К изучению таких систем сводятся задачи потери управления, срыва слежения вследствие ограниченности диапазона изменения переменных состояния, в которых система может функционировать и др. |