Основы теории Стохастических систем (лекции). Основы теории стохастических систем
 Скачать 18.19 Mb.
|
|
1.2. Основные задачи теории стохастических систем Стохастические системы описываются стохастическим оператором следующего вида [3]: Y=AX, A=A(N,t), где N-возмущение стохастического оператора. Оператор стохастической системы ставит в соответствие каждому входному сигналу определенное распределение выходного сигнала – отображает пространство входных сигналов в пространство всех возможных распределений на пространстве входных сигналов. Представление стохастического преобразования в виде стохастического оператора удобно для систем со стохастическими параметрами. В таких системах структура преобразования А входного сигнала Х является полностью определенной, а стохастическое преобразование А выражается в стохастичности структурных коэффициентов и последовательности операций. Структурные коэффициенты или параметры операций преобразования А могут быть как случайными функциями пространственно-временного непрерывного и дискретного аргумента, так и случайными величинами, в общем случае зависящими от случайного входного сигнала Х. В прикладной теории стохастических систем решаются следующие две основные задачи: 1) найти вероятностные характеристики выходного сигнала Y при известных характеристиках A, N, Х (прямая задача); 2) найти вероятностные характеристики входного сигнала Х при известных характеристиках A, N,Y (обратная задача). Важное практическое значение имеют задачи, связанные с декомпозицией, агрегированием, преобразованием структуры модели системы, а также с теорией чувствительности и эквивалентности различных сигналов систем. 1.3. Моделирование сложных (стохастических) систем Для получения математической модели необходимо установить соотношение между входными, выходными сигналами и вектором состояния системы. Эти соотношения могут быть детерминированными или содержать некоторые элементы неопределенности. В последнем случае пользуются вероятностным подходом, приписывая случайный (стохастический) характер и соответствующие распределения всем неопределенным величинам. Таким образом, приходим к следующему определению математической модели системы. Математической моделью системы называется совокупность четырех элементов: 1) пространства состояний, 2) пространства входных сигналов, 3) пространства выходных сигналов и 4) соотношений, связывающих входной и выходной сигналы и вектор состояния системы. Классификация систем по типу поведения [2] Общее абстрактное описание (абстрактная модель) лишь отражает характер описания и общие свойства систем широкого класса с различным типом поведения. Для построения модели удобнее использовать некоторые типовые математические схемы, отражающие те или иные типы поведения реальных моделируемых систем. По числу состояний модели делятся на статические и динамические. Для статических моделей характерным является то, что выход системы (или ее характеристики) в некоторый момент времени определяется значением входного сигнала в тот же момент времени:  .В плане абстрактного описания эти системы можно определить как системы с одним значением состояния, то есть предыстория не изменяет состояния и, стало быть, не влияет на выход. Если возможных состояний множество, то систему (и модель) классифицируют как динамическую. Динамические модели (системы) следует различать по времени перехода их из состояния в состояние, что обычно определяется характером множества Т значений времени, которое интересует исследователя. Если Т счетное множество значений, то имеет место описание в дискретном времени и модель (систему) называют моделью (системой) с дискретным временем. Соответственно, если Т несчетное множество, то моделью (системой) с непрерывным временем. По типу состояний (по типу множества значений Х) системы (модели) разделяют на системы (модели) с дискретным состоянием, если множество Х есть конечное счетное множество, и на системы (модели) с непрерывным состоянием, если Х несчетное множество (множество обладает мощностью континуума). По условиям переходов систем из состояния в состояние они могут быть разделены на детерминированные и стохастические. Если модель путем применения к ней формальных процедур позволяет однозначно предсказать изменение состояния и, соответственно, выхода, то модель называют детерминированной. Если удается оценить лишь статистические характеристики этих переменных, то модель называют стохастической . Такие модели обычно имеют место при необходимости учета различного рода случайных факторов, таких как случайные входы, случайные параметры, случайные начальные условия, с целью отражения присущей моделируемой реальной системе неопределенности поведения, или неполноты информации о системе. Статистические и теоретико-вероятностные методы составляют методологическую основу одноименного вида моделирования [1]. На этом уровне формализации модели речь о вскрытии закона, обеспечивающего устранение неопределенности при принятии решения, пока еще не идет, но существует некоторый массив наблюдений за данной системой или ее аналогом, позволяющих сделать некие выводы относительно прошлого/текущего/будущего состояния системы, основываясь на гипотезе об инвариантности (неизменности) ее поведения. Как всегда, сформулируем определение… Статистическая или теоретико-вероятностная модель (стохастическая модель) — это модель, в которой обеспечивается учет влияния случайных факторов в процессе функционирования системы, основанная на применении статистической или теоретико-вероятностной методологии по отношению к повторяющимся феноменам. Данная модель оперирует количественными критериями при оценке повторяющихся явлений и позволяет учитывать их нелинейность, динамику, случайные возмущения за счет выдвижения на основе анализа результатов наблюдений гипотез о характере распределения некоторых случайных величин, сказывающихся на поведении системы. По существу, теоретико-вероятностные и статистические модели отличаются уровнем неопределенности знаний о моделируемой системе, существующей на момент синтеза модели. В случае, когда представления о системе носят, скорее, теоретический характер и основываются исключительно на гипотезах о характере системы и возмущающих воздействий, не подкрепленных результатами наблюдений, теоретико-вероятностная модель является единственно возможной. Когда же на этапе синтеза модели уже существуют данные, полученные опытным путем, появляется возможность подкрепления гипотез за счет их статистической обработки. Это становится очевидным, если рассмотреть соотношение между методами математической статистики и теории вероятностей. Математическая статистика — это наука, изучающая методы вскрытия закономерностей, свойственных большим совокупностям однородных объектов или событий, на основании их выборочного обследования (либо большим массивам данных, полученных в результате наблюдения за одним и тем же объектом на протяжении достаточно протяженного интервала времени). Теория вероятностей изучает количественные закономерности, которым следуют случайные явления, если эти явления определяются событиями известной вероятности. Соответственно, математическая статистика является связующим звеном между теорией вероятностей и явлениями реального мира, поскольку позволяет сформулировать оценки вероятности тех или иных событий на основе анализа статистических данных. Можно утверждать, что статистические модели представляют собой особый вид математических моделей, использующих в качестве исходных данных не только актуальные данные о текущем состоянии объекта, но и данные, характеризующие состояние либо других объектов данного класса, либо этого объекта, но в иной момент времени. Статистическое моделирование тесно сопряжено с имитационным моделированием, в ходе которого модель объекта нередко «погружается в вероятностную (статистическую) среду», в которой проигрываются различные ситуации и режимы функционирования модели/объекта. Имитационные модели могут реализовываться и в детерминированных средах. Имитационная модель – это формальное (т.е. выполненное на некотором формальном языке) описание логики функционирования исследуемой системы и взаимодействия, отдельных ее элементов во времени, учитывающее наиболее существенные причинно-следственные связи, присущие системе, и обеспечивающие проведение статистических экспериментов. Остановимся более подробно на понятии статистический эксперимент. В его основе лежит метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Суть его состоит в том, что результат испытания ставится в зависимость от значения некоторой случайной величины, распределенной по заданному закону. Поэтому результат каждого отдельного испытания также носит случайный характер. Проведя серию испытаний, получают множество частных значений наблюдаемой характеристики (т.е. выборку). Полученные статистические данные обрабатываются и представляются в виде соответствующих численных оценок интересующих исследователя величин (характеристик системы). Теоретической основой метода статистических испытаний являются предельные теоремы теории вероятностей (теорема Чебышева, теорема Пуассона, теорема Бернулли). Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний. Важно отметить, что метод статистических испытаний применим для исследования как стохастических , так и детерминированных систем. Еще одной важной особенностью данного метода является то, что его реализация практически невозможна без использования компьютера. Поскольку основой имитационного моделирования является метод статистических испытаний, то наибольший эффект от его применения достигается при исследовании сложных систем, на функционирование которых существенное влияние оказывают случайные факторы. Применение имитационного моделирования целесообразно в следующих случаях: если не существует законченной постановки задачи на исследование и идет процесс познания объекта моделирования; если характер протекающих в системе процессов не позволяет описать эти процессы в аналитической форме; если необходимо наблюдать за поведением системы (или отдельных ее компонентов) в течение определенного периода, в том числе с изменением скорости протекания процессов; при изучении новых ситуаций в системе либо при оценке функционирования ее в новых условиях; если исследуемая система является элементом более сложной системы, другие элементы которой имеют реальное воплощение; когда необходимо исследовать поведение системы при введении в нее новых компонентов; при подготовке специалистов и освоении новой техники (в качестве тренажеров). Приведенный список возможных областей применения имитационных моделей можно рассматривать и как перечень их достоинств, но, к сожалению, имитационные модели имеют и ряд недостатков. Первый, и весьма существенный, заключается в том, что разработка имитационных моделей, как правило, требует больших затрат времени и сил. Кроме того, любая имитационная модель сложной системы значительно менее объективна, чем аналитическая модель, поскольку она, прежде всего, отражает субъективные представления разработчика о моделируемой системе. И, наконец, результаты имитационного моделирования, как и при любом численном методе, всегда носят частный характер. Для получения обоснованных выводов необходимо проведение серии модельных экспериментов, а обработка результатов требует применения специальных статистических процедур. Стохастическим программированием называют метод решения оптимизационных задач, в которых целевая функция недоступна для вычисления в чистом виде, а может быть оценена или вычислена с погрешностью, например из эмпирических наблюдений или экспериментов. Стохастическое программирование может применяться для решения задач оценки параметров стохастических объектов, управления, динамической идентификации, однако, в отличие от прямых методов решения этих задач, стохастическое программирование не требует хранения всей накопленной информации об объекте, а предлагает способ адаптивной коррекции оценки по данным следующего наблюдения. Рассматриваются такие методы как Робинса–Монро, Киффера–Вольфовица, конечно-сходящиеся алгоритмы, методы случайного поиска. Кроме того, рассматриваются нейросетевые и генетические алгоритмы, как частные случаи алгоритмов стохастического еалииямирования для решения специфических задач. Контрольные вопросы: 1) В чем заключается функционирование системы? 2) Что характеризуют функционирование или состояние системы? 3) Оператор детерминированной системы. Что он характеризует? 4) В каких случаях детерминированная система называется физически возможной? 5) Понятие стохастической системы. 6) Решающая функция стохастической системы. Что она характеризует? 7) В каких случаях стохастическая система называется физически возможной? 8) Понятие устойчивости стохастической системы. 9) Какие задачи решаются в прикладной теории стохастических систем? 10) Понятие математической модели системы. 11) Классификация моделей. 12) Понятие статической или теоретико-вероятностной (стохастической) модели. 13) Отличия теоретико-вероятностной и статистической моделей. 14) Имитационное моделирование и статистический эксперимент. 15) В каких случаях целесообразно применение имитационного моделирования. 16) Стохастическое программирование, решаемые задачи. Лекция 2 Случайные события  2.1 Испытание. Поле событий. Операции над событиями [4]  множество называется полем событий связанным с испытанием, а события этого поля называются случайными событиями. Поле может содержать равновозможные события: Е1, E2, …Еn. Эти события называются элементарными исходами испытаний. Каждому возможному событию Alполя событий отвечаетнекоторая часть или подмножество элементарных исходов, из которых как бы составлено Al.. События могут быть взаимообусловленными. В этом случае говорят, что событие А влечет за собой событие В, если при наступлении А неизбежно наступает В: A€B. Если A€B и одновременно B€A, то события А и В называют эквивалентными, что обозначается знаком равенства А=В. Можно сказать, что каждое событие поля представляет логическую сумму некоторых событий из множества (Е1, E2, …Еn). Так событие А (7, 10, 12) можно записать так: А=Е7 + Е10 + Е12, здесь знак + заменяет союз «или». Сумма S=A1 + A2 + …+Ak представляет событие, заключающееся в появлении A1 или A2 или…или Ak., или некоторых из них вместе. Пример: события (1, 2, 3)и (3, 4, 5) совместимы: они наступают вместе в тех испытаниях, в которых исход имеет номер 3. Сумме событий отвечает подмножество элементов, полученных объединением исходов. Так сумма событий (1, 2, 3) + (1, 2) будет равна (1, 2, 3). Каждый элемент входит в сумму один раз. Два события поля А и А- называются противоположными (взаимно дополнительными), если они несовместимы и в сумме составляют достоверное событие. Так два события: «появление отказа в ЭВМ» и «отсутствие отказа в ЭВМ» в течение рабочего времени – противоположны. По определению А + А- =U. Таким образом, достоверно, что наступит А или не А-. Невозможное событие V противоположно достоверному, т.е U+V = U.   2.2 Частость и вероятность [4] Рассмотрим серию из N испытаний, произведенных в одних и тех же условиях. Допустим, что нас интересует определенное событие А поля испытаний. Если в нашей серии испытаний событие А произошло kN(A) раз, то отношение kN(A) = WN(A) называется частостью: 0≤ WN(A)≤ 1. Если событие А невозможно WN(A)=0, если событие достоверно, то WN(A)= 1. Если событие А невозможно, A = V, то в любой серии     |