Основы теории Стохастических систем (лекции). Основы теории стохастических систем
 Скачать 18.19 Mb.
|
|
Контрольные вопросы 1. Особенности моделирования в условиях противодействия. Виды торгов. 2. Оптимальная для сторон стратегия назначения цен при равных свободных суммах с обеих стороны. 3. Какие возможны стратегии назначения цен в открытых торгах? 4. В чем сложность задачи моделирования и выбора оптимальной стратегии поведения сторон в открытых торгах? 5. Что понимают под латентными факторами и латентными признаками в планировании экспериментов? 6. Какие компоненты целесообразно включать в план эксперимента? 7. Обеспечение случайности или рандомизацииплана эксперимента. Построение таблицы латинский квадрат для числа факторов, равном двум. 8. Какие выводы позволяет сделать обработка результатов плана эксперимента – латинский квадрат? Лекция 14 Адаптационная оптимизация  1. Постановка задачи адаптационной оптимизации [14]    14    2. Симплекс планирование  14   динату точки vj. В вектоном обозначении это запишется так: vj*=2/k(v1+v2+..+vj-1+vj+1+..+vk+1)-vj     , переменных.     постановкой задачи. Контрольные вопросы 1.Особенности постановки адаптационной задачи в промышленных условиях. 2. Сущность адаптационной оптимизации и адаптационного контроля в условиях промышленного производства. 3. В чем сущность задачи адаптационной оптимизации? 4. Особенности симплекс планирования в производственных условиях. 5. Понятие симплекса, равномерный симплекс при двух управляемых переменных. 6. Правила стратегии симплекс планирования. 7. От чего зависит эффективность движения симплекса? Благоприятные обстоятельства симплекс планирования. Лекция 15 Имитационное моделирование стохастических систем  1. Модели и моделирование. Общие понятия Статистическая или теоретико-вероятностная модель (стохастическая модель) — это модель, в которой обеспечивается учет влияния случайных факторов в процессе функционирования системы, основанная на применении статистической или теоретико-вероятностной методологии по отношению к повторяющимся феноменам. Данная модель оперирует количественными критериями при оценке повторяющихся явлений и позволяет учитывать их нелинейность, динамику, случайные возмущения за счет выдвижения на основе анализа результатов наблюдений гипотез о характере распределения некоторых случайных величин, сказывающихся на поведении системы [15]. По существу, теоретико-вероятностные и статистические модели отличаются уровнем неопределенности знаний о моделируемой системе, существующей на момент синтеза модели. В случае, когда представления о системе носят, скорее, теоретический характер и основываются исключительно на гипотезах о характере системы и возмущающих воздействий, не подкрепленных результатами наблюдений, теоретико-вероятностная модель является единственно возможной. Когда же на этапе синтеза модели уже существуют данные, полученные опытным путем, появляется возможность подкрепления гипотез за счет их статистической обработки. Это становится очевидным, если рассмотреть соотношение между методами математической статистики и теории вероятностей. Математическая статистика — это наука, изучающая методы вскрытия закономерностей, свойственных большим совокупностям однородных объектов или событий, на основании их выборочного обследования (либо большим массивам данных, полученных в результате наблюдения за одним и тем же объектом на протяжении достаточно протяженного интервала времени). Теория же вероятностей изучает количественные закономерности, которым следуют случайные явления, если эти явления определяются событиями известной вероятности. Соответственно, математическая статистика является связующим звеном между теорией вероятностей и явлениями реального мира, поскольку позволяет сформулировать оценки вероятности тех или иных событий на основе анализа статистических данных. Можно утверждать, что статистические модели представляют собой особый вид математических моделей, использующих в качестве исходных данных не только актуальные данные о текущем состоянии объекта, но и данные, характеризующие состояние либо других объектов данного класса, либо этого объекта, но в иной момент времени. Статистические модели применимы для изучения массовых явлений любой природы, включая и те, которые не относятся к категории вероятностно определенных (математическая статистика приспособлена и для решения детерминированных задач). При моделировании последних статистический процесс вводится в модель искусственно для получения статистических оценок численного решения (например, точности измерения параметров детерминированного процесса). Методы математической статистики и теории вероятности могут вводиться, в том числе, и в логические и логико-лингвистические модели, как это было указано в предыдущем подразделе. Например, могут рассматриваться методы интеграции статистических оценок в модели семантических отношений для придания различных весов дугам, связывающим отдельные вершины. Статистические оценки могут быть внедрены и в системы представления тезаурусов для разрешения ситуаций полисемии без обращения к процедурам контекстного анализа. Иными словами, статистические методы могут составлять как основу модели, так и применяться для модификации моделей других типов. Для обработки результатов наблюдений используются методы корреляционного, регрессионного, факторного, кластерного и иных видов анализа, оперирующих статистическими гипотезами. Особая роль здесь отводится методу статистических испытаний (методу Монте-Карло). Это метод численного решения математических задач, основанный на многократном теоретико-вероятностном и статистическом моделировании случайных величин или процессов с целью построения статистических оценок для искомых величин. Сущность метода состоит в реализации многократного моделирования случайного явления с помощью некоторой процедуры, дающей случайный результат. Для этого с применением ЭВМ создается некоторое множество реализаций случайных процессов, моделирующих возмущающие воздействия на исследуемый объект или процесс, после чего производится моделирование этого процесса или объекта в условиях, определяемых полученными случайными воздействиями. Результаты такого моделирования обрабатывают с использованием методов математической статистики. При этом могут варьироваться тип и параметры распределения случайной величины. Реализация случайного процесса методом Монте-Карло представляет собой последовательность розыгрышей единичных жребиев, перемежающихся обычными расчетами, в ходе которых определяется результат возмущающего воздействия на объект или процесс, на исход операции. Поскольку адекватность модели распределения случайных воздействий в общем случае установить трудно, задачей моделирования с применением метода Монте-Карло является обеспечение робастности полученных решений (устойчивости к изменению параметров закона распределения случайных величин и начальных условий моделирования). Если результат моделирования не является робастным (существенно зависит от параметров закона распределения и параметров модели), то это свидетельствует о наличии высокого риска при принятии решения в данной реализации моделируемой системы. Важную роль в статистических моделях играют гипотезы о характере процессов смены состояний в моделируемой системе. Так, например, весьма интересный случай представляет собой гипотеза о «марковости» процессов (получившая название в честь русского ученого А.А. Маркова — начало XX века). Марковские процессы представляют собой случай процесса с детерминированными вероятностями, для которого ранняя предыстория смены состояний системы на некотором предшествующем интервале времени несущественна для установления вероятности наступления следующего события — основное значение придается ее текущему состоянию. Если существует уверенность в марковости процесса, это существенно меняет представления о системе (она может рассматриваться как «инерционная», в большой степени зависящая от текущего ее состояния и характера возмущающего воздействия). Принцип марковости был открыт при анализе текстов на естественных языках, где вероятность появления следующего символа может быть предсказана на основе статистического анализа текстовых массивов, на данном конкретном языке. Статистическое моделирование тесно сопряжено с имитационным моделированием, в ходе которого модель объекта нередко «погружается в вероятностную (статистическую) среду», в которой проигрываются различные ситуации и режимы функционирования модели/объекта. Однако имитационные модели могут реализовываться и в детерминированных средах. 2. Методы статистического моделирования Методы статистического моделирования широко распространены в сфере стратегического планирования и управления. Широкому распространению методов статистического моделирования в сфере оперативного управления препятствует высокая трудоемкость процесса моделирования. В основном это связано с необходимостью глубокой математической проработки моделей и высокими требованиями, предъявляемыми к математическим познаниям пользователей. Имитационные модели Данная разновидность моделей неразрывно связана с идеей машинного эксперимента. Собственно, имитационная модель — это модель комплексная, к которой не предъявляется строгих требований к применению моделей какого-то заданного типа. Идеология многомодельного исследования целиком основывается именно на этом типе моделей. Имитационная модель — это комплексное логико-математическое представление системы, реализованное в виде программы, предназначенной для решения на ЭВМ, включающее в себя модели различного типа, и рассматривающее аспект функционирования динамической системы во времени. Данный класс моделей применяется при невозможности строгого аналитического решения задачи или проведения натурного эксперимента. Имитационные модели служат для изучения поведения во времени сложной неоднородной динамической системы, относительно структуры которой существуют точные знания или детализированные гипотезы. Для каждого элемента или подсистемы моделируемой системы в памяти ЭВМ формируется блок данных, характеризующих ее текущее и предшествующие состояния, блок логических и вычислительных процедур, описывающих изменения критических параметров во времени, а также производятся вычисления этих параметров на основе заданных значений. Комплекс подпрограмм или относительно автономных программных агентов функционирует под управлением программы-супервизора, осуществляющей диспетчеризацию вызовов, активизирующей и приостанавливающей на время выполнение тех или иных процедур в соответствии с планом машинного эксперимента, имитируя тем самым поведение системы. В результате машинного эксперимента формируются массивы данных о состоянии различных параметров системы в различные моменты времени с привязкой к системным событиям, имитируемым в ходе эксперимента. При этом программа-супервизор управляет процессом имитации случайных возмущающих воздействий, от которых зависит функционирование системы в целом и ее элементов и подсистем. Широкое применение здесь находит метод Монте-Карло, ранее упоминавшийся нами. Имитационная модель — это инструмент исследования, посредством которого могут осуществляться и манипуляции с масштабом времени функционирования модели. Различают имитационные модели, функционирующие как в натуральном, так и в замедленном или ускоренном масштабе времени. Это является крайне важным при анализе поведения систем, для наблюдения которых отсутствует возможность воспользоваться натуральным масштабом времени. К разряду таких систем могут быть отнесены экосистемы, популяции, системы, в которых протекают скоротечные физические процессы и иные. К числу наиболее памятных для человечества имитационных моделей могут быть отнесена модель глобальной ядерной войны, приведшая к укоренению в обиходе политиков и военных термина «ядерная зима». Эта модель оказала существенное влияние на международную обстановку и на долгое время снизила накал гонки вооружений. Но уроки не идут впрок — все забывается и новые политики безответственно манипулируют терминами «превентивный удар» и иными, столь же абсурдными. Частным случаем имитационных моделей являются модели ситуационные. Ситуационные модели — это модели, используемые при решении задач с неопределенностью, исходя из совокупности ситуаций. В отличие от других моделей, основанных на заданном графе функционирования системы, для ситуационной модели такой граф неизвестен. Однако существует набор прецедентов ситуаций, обладающих малым прогностическим потенциалом. Под ситуацией будем понимать временное отношение, сложившееся между ее объектами-участниками, либо между состояниями этих объектов. Соответственно, под ситуационным моделированием будем понимать метод анализа некоторой системы с применением ситуационной модели, с требуемой степенью адекватности отображающую логическую, временную, пространственную структуру процессов, а также характер и структуру информации о состоянии системы и изменении образующих ее элементов. Для создания ситуационных моделей требуется решить следующие задачи:
Поскольку граф, описывающий последовательность переходов, для ситуационных моделей в общем случае не определен, постольку целесообразно рассматривать вариант представления ситуационной модели в виде обобщенной семантической сети. Одна из разновидностей семантических сетей — сценарий, как нельзя лучше подходит для этой цели. В целом структура ситуационной модели определяется субъективными особенностями восприятия и свойственным аналитику способом разложения ситуации на составляющие. Это вызвано тем, что эксперт-аналитик, осуществляющий процедуру синтеза ситуационной модели, формулирует свои собственные критерии, соответствующие пребыванию системы в том или ином состоянии. 3. Имитационное моделирование непрерывных процессов Математическое моделирование с использованием компьютерной техники играет важную роль в совершенствовании управления технологическими процессами. Ниже ознакомимся с методикой использования вычислительного эксперимента и имитационного моделирования для оценки эффективности управления производством и выработки предложений по совершенствованию алгоритмов управления с целью дальнейшего улучшения качества вырабатываемой продукции [16]. Предлагаемая методика состоит из следующих этапов:
Достоверность результатов моделирования во многом зависит от точности регрессионных моделей, используемых при моделировании. Для повышения точности параметры моделей уточнялись с помощью алгоритма адаптации с использованием фактических данных режимных переменных и показателей качества продукции. Используемые при моделировании регрессионные уравнения имеют линейную структуру, которые формально можно записать в следующем виде: y(t)= b0(t) + b1(t) × x 1(t-t1) +...+ bk(t) × x k(t-tk), (15.1) где bi(t), i=0,1,..,k - параметры модели; t - текущее время; k - количество факторов в модели; x i - входные переменные; ti - запаздывание по входным каналам; y(t) - выходная переменная. Точность регрессионного уравнения оценивается абсолютной погрешностью Dy(t), вычисляемой по формуле: Dy(t) = yф(t)- y(t), (15.2) где yф (t), y(t) – фактическое и рассчитанное по регрессионному уравнению значение показателя качества продукции в момент времени t. При превышении ошибки допустимой величины происходит инициирование алгоритма адаптации (Рис. 15.1). Алгоритм адаптации, используя информацию о входных и выходных переменных, значения текущих параметров модели и ее ошибки, проводит коррекцию коэффициентов модели по формуле : k k bi(t)= bi(t-1) + (y(t) - å bi(t-1) xi(t-ti)) / (g + å xi 2(t-ti)) xi(t-ti) , (15.3) i=0 i=0 где ti - запаздывание по каналу; g - параметр алгоритма адаптации. Сходимость алгоритма обеспечивается выбором значения параметра g и начальных значений коэффициентов регрессии. Значение g подбирается экспериментально. При отсутствии помех в измерении входных переменных принимается g=0. Для модели с неизменяемыми значениями регрессоров g=¥. В качестве начальных значений коэффициентов адаптивной модели выбираются значения коэффициентов из уравнения регрессии. С помощью машинного эксперимента, реализованного на контрольной выборке, уточнялись статистические данные о работоспособности регрессионных моделей (дисперсия погрешности модели, периодичность коррекции, диапазон изменения коэффициентов и др.). После получения адекватных моделей разрабатывалась имитационная модель управления производством. Инерционность объекта управления, низкочастотный спектр возмущающих воздействий определяют дискретность управления процессом: один раз в сутки корректируется режим работы технологического оборудования. Между интервалами управления выбранный режим стабилизируется. Анализ случайных процессов изменения выходных переменных, инерционность каналов управления по режимным переменным, спектральные характеристики возмущающих воздействий позволяют отнести рассматриваемую задачу к числу задач статического планирования и управления. Входная Выходная переменная Технологическая переменная yф линия Алгоритм y адаптации - Ошибка модели Математическая y модель линии Расчетная выходная переменная Рис. 15.1. Схема коррекции параметров регрессионного уравнения  Реализуемость статического подхода к решению задач управления процессом подтверждается тем, что действующие возмущающие воздействия компенсируются при помощи режимных переменных значительно быстрее, чем успевают измениться значения самих возмущений. Полученные регрессионные уравнения представляют собой приближенную модель объекта, позволяющие рассчитать выходные показатели технологического процесса с некоторой ошибкой. Аппроксимация динамических моделей каналов режимных переменных характеристиками звена чистого запаздывания позволяет использовать для математического описания статического режима работы технологической линии систему алгебраических уравнений. В этом случае выходные показатели должны рассчитываться по входным переменным с учетом эквивалентных времен запаздывания. При решении задачи управления с использованием регрессионных уравнений может оказаться, что технологический режим, выбранный в результате решения задачи с приближенной моделью процесса, в действительности не будет обеспечивать выработку продукции заданного качества. Организация управления процессом с заданной надежностью (вероятностью) возможна двумя способами: 1) разработкой адаптивных математических моделей; 2) разработкой алгоритмов управления, учитывающих вероятностный характер полученного математического описания и использующих некоторую дополнительную информацию о процессе. При моделировании использован первый подход - разработка моделей с заданной точностью и использование детерминированных алгоритмов для решения статической задачи управления (планирования) процессом. Этот подход отличается простотой и ясностью алгоритмов управления. При адекватных моделях он позволяет получать решения, близкие к результатам, полученным с использованием сложных алгоритмов, используемых при решении стохастических задач. Использование машинных имитационных моделей позволяет получать информацию, дополняющую результаты реальных испытаний системы управления и оценивать эффективность функционирующей системы. При создании имитационной модели ориентировались на использование экспериментальных данных по входным и выходным переменным, собираемых с объекта. Экспериментальные данные позволяют оценить точность соответствия поведения модели поведению реального объекта и при необходимости уточнить модель, оценить эффективность исследуемых алгоритмов управления по сравнению с ручным ведением процесса при одинаковых исходных данных. Системы автоматизированного управления крупными производствами относятся к числу больших и сложных систем, что усложняет их исследование. Возникшая проблема решается путем сведения задачи большой размерности к последовательному решению нескольких задач малой размерности за счет ее декомпозиции. Рассмотрим использование имитационного моделирования для оценки эффективности управления технологическим оборудованием на примере производства листового стекла флоат-способом в ОАО «Борский стекольный завод» и выработки предложений по коррекции режима работы оборудования с целью повышения качества вырабатываемого стекла. Разрабатываемая СППР используется на среднем уровне управления производством с непрерывным характером протекающих процессов для анализа и выбора ЛПР управляющих решений (Рис.15.2).        СППР ЛПР Введение новых исходных данных Решение выбрано Рис. 15.2. Схема формирования выработки решения Вариант вычислений Моделирующий программный комплекс позволяет выполнять: - статистический анализ производства и его прогноз на задаваемый временной интервал; - проводить многовариантные вычисления алгоритмов управления, оценивать ожидаемые результаты выбираемых управляющих решений. Результаты решений выдаются в графической форме, а также в виде таблиц на экране монитора, либо на принтере. Для поддержки работоспособности системы в реальном масштабе времени требуется периодически вводить показатели работы производства в моделирующую систему. Система работает с ранее занесенными в компьютер данными. ПК функционирует в IBM совместимых компьютерах в операционной среде Widows. ПК состоит из двух компонент для работы в режиме диалога (Рис.3.) и режиме конфигурирования (Рис.4) системы. Оперативная помощь пользователям вызывается в режиме конфигурирования в пункте меню «Помощь». Все файлы, необходимые для работы системы, создаются средствами самого ПК. Инсталляция ПК проводится в режиме конфигурирования. Для настройки выбирается пункт меню “Файл ”. Выбрав пункт “Параметры ” из меню следующего уровня устанавливаются параметры настройки. Указывается путь к данным, хранящимся в БД ( например AWS\*aws). Задание пути к файлам и расширения имен файлов позволяет указывать при обращении к элементам БД только имя файла дескриптора элемента. Конфигурирование базы данных включает в себя создание новых элементов БД, коррекцию, просмотр и удаление существующих элементов. При работе в режиме конфигурирования в пункте меню “Объект ” администратор базы данных может просмотреть имена, типы, имена файлов дескрипторов существующих элементов БД, корректировать информацию, определяющую сущность элементов БД, удалять файлы дескрипторов с диска, а также выполнять функции, определенные для нормальной работы комплекса, без запуска компоненты «Режим диалога». Для просмотра списка элементов БД вызывается каталог объектов с помощью пункта меню “Просмотр ”. Здесь можно просмотреть списки элементов выбранного типа. Система поддержки принятия решений конфигурируется под решаемую задачу в режиме Конфигуратор (Рис.15.4). Меню пользователя создается с помощью иконок, расположенных с левой стороны окна, в котором графически отображается иерархическая структура меню пользователя. Иконки имеют следующие названия, соответствующие выполняемым действиям: «Новый пункт меню», «Удаление текущего элемента», «Новое подменю», операции перемещения вверх и вниз элементов списка меню. Содержание пунктов и подпунктов меню заполняется созданными элементами из БД. Перечень элементов отображается в правом окне меню конфигуратора. Манипуляция элементами проводится с помощью кнопок, расположенных с правой стороны названного окна. Кнопки имеют названия, соответствующие выполняемым операциям: «Создать объект», «Подключить объект», Отключить объект». Перемещение объектов в списке осуществляется кнопками, помеченными треугольниками. Конфигуратор позволяет разрабатывать меню пользователя иерархической структуры. Каждый пункт меню может состоять из подпунктов, а подпункты - в свою очередь из других подпунктов и т.д. Иерархичность структуры меню обеспечивается за счет включения в список объектов в качестве элементов других списков и т.д. Программное обеспечение моделирующей системы требует распределения оперативной памяти компьютера под функциональные программы системы и базу данных. Память, занимаемая функциональными программами, относительно стабильна, а выделяемая под локальную базу данных - зависит от количества элементов и их размерностей. В базе данных моделирующей системы содержатся данные регулярного типа для построения моделей. Точность моделей обеспечивается за счет периодической корректировки ее параметров (коэффициентов) с использованием одношагового алгоритма адаптации.  Рис. 15.3. Меню пользователя  Все модели создают класс элементов БД типа “Формула”. Формула записывается с помощью оператора присваивания. Идентификатор рассчитываемой переменной записывается с левой стороны от оператора присваивания “:=“, а само вычисляемое выражение - с правой стороны. В выражении используются вычислительные функции, а также логические действия, такие как сдвиг данных (shift), выбор ближайшего по времени значения переменной (near) и др. Алгоритм вычисления значений переменной формирует файл с расчетными данными, образуя переменную регулярного типа. Адаптация коэффициентов линейных моделей, описывающих зависимость выходных переменных объекта управления от входных переменных, проводится для повышения точности модели. Пусть процесс описывается линейным уравнением в дискретные моменты времени n: y(n)=bi(n)*xi(n-ki), i=1,2,...m, (15.4) где y(n) - выходная переменная объекта управления на n-ом такте; xi(n-ki) - значение i-ой входной переменной в n-ом такте с временным сдвигом на kдискрет; bi(n) - изменяющиеся (неизвестные) параметры модели; m - число входных переменных. Тогда параметры модели будут уточняться с использованием оптимального одношагового алгоритма адаптации (15.3). Для повышения эффективности алгоритма адаптации в нем используются стандартизированные значения входных переменных. Стандартизация входных переменных производится с использованием прошлых и текущих данных. Временной интервал стандартизации T задается установкой одноименного параметра при создании элемента “Адаптация”. Для выполнения процедуры стандартизации необходимо исключить равенство нулю дисперсии входных переменных на интервале времени стандартизации T. Здесь же задается допустимая абсолютная погрешность адаптивной модели Dyi в окне «Допуск», а также «Параметр адаптации» γ. При моделировании используются ретроспективные данные о протекавшем процессе, который управлялся вручную или с использованием иного алгоритма управления. |