Основы теории Стохастических систем (лекции). Основы теории стохастических систем
 Скачать 18.19 Mb.
|
1. Функциональные и корреляционные связи между переменнымиЭкспериментальные данные представляют собой количественные характеристики каких-либо объектов или процессов. Они формируются под действием множества факторов, не все из которых доступны контролю. Неконтролируемые факторы могут принимать случайные значения из некоторого множества значений и тем самым обуславливать случайность данных, которые они определяют. Стохастическая природа экспериментальных данных обуславливает необходимость применения соответствующих статистических методов для их обработки и анализа. Статистические распределения характеризуются наличием более или менее значительной вариации в величине измеренных переменных у отдельных единиц совокупности. Возникает вопрос о том, какие же причины формируют уровень переменной в данной совокупности и каков конкретный вклад каждой из них. Изучение зависимости вариации переменных от окружающих условий и составляет содержание теории корреляции. Изучение действительности показывает, что вариация каждой переменной находится в тесной связи с вариацией других переменных, характеризующих исследуемую совокупность единиц. Вариация уровня производительности труда работников предприятий зависит от степени совершенства применяемого оборудования, технологии, организации производства, труда и управления и других самых различных факторов. При изучении конкретных зависимостей одни переменные выступают в качестве факторов, обусловливающих изменение других переменных. Переменные этой первой группы будем называть факторными переменными; а переменные, которые являются результатом влияния этих факторов, будем называть зависимыми (результативными). Например, при изучении зависимости между производительностью труда рабочих и энерговооруженностью их труда уровень производительности труда является результативной переменной, а энерговооруженность труда рабочих – факторной переменной. Рассматривая зависимости между переменными, необходимо выделить, прежде всего, две категории зависимости: 1) функциональные и 2) корреляционные. Функциональные связи характеризуются полным соответствием между изменением факторной переменной и изменением результативной величины, и каждому значению факторной переменной соответствуют вполне определенные значения результативного переменной. Функциональная зависимость может связывать результативную переменную с одним или несколькими факторными переменными. Так, величина начисленной заработной платы при повременной оплате труда зависит от количества отработанных часов. В корреляционных связях между изменением факторной и результативной переменными нет полного соответствия, воздействие отдельных факторов проявляется лишь в среднем при массовом наблюдении фактических данных. Одновременное воздействие на изучаемую переменную большого количества самых разнообразных факторов приводит к тому, что одному и тому же значению факторной переменной соответствует целое распределение значений результативной переменной, поскольку в каждом конкретном случае прочие факторные переменные могут изменять силу и направленность своего воздействия. При сравнении функциональных и корреляционных зависимостей следует иметь в виду, что при наличии функциональной зависимости между переменными можно, зная величину факторной переменной, точно определить величину результативной переменной. При наличии же корреляционной зависимости устанавливается лишь тенденция изменения результативной переменной при изменении величины факторной переменной. В отличие от жесткости функциональной связи корреляционные связи характеризуются множеством причин и следствий и устанавливаются лишь их тенденции. 2. Корреляционный анализ Основная задача корреляционного анализа заключается в выявлении взаимосвязи между случайными переменными путем точечной и интервальной оценки парных (частных) коэффициентов корреляции, вычисления и проверки значимости множественных коэффициентов корреляции и детерминации. Кроме того, с помощью корреляционного анализа решаются следующие задачи: - отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативную переменную, на основании измерения степени связи между ними; - - обнаружение ранее неизвестных причинных связей. Корреляция непосредственно не выявляет причинных связей между переменными, но устанавливает численное значение этих связей и достоверность суждений об их наличии. Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными. Ковариация между двумя переменными  рассчитывается следующим образом: ,где  - фактические значения случайных переменных x и y, .  .ковариация – это статистическая мера взаимодействия двух случайных переменных, таких, например, как доходности двух ценных бумаг. Положительное значение ковариации показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону. Ковариация зависит от единиц, в которых измеряются переменные . Поэтому для измерения силы связи между двумя переменными используется другая статистическая характеристика, называемая коэффициентом корреляции.При проведении корреляционного анализа вся совокупность данных рассматривается как множество переменных (факторов), каждая из которых содержит n –наблюдений; хik – i-ое наблюдение k-ой переменной. Основными средствами анализа данных являются парные коэффициенты корреляции, частные коэффициенты корреляции и множественные коэффициенты корреляции. Коэффициент парной корреляции Для двух переменных теоретический коэффициент корреляции определяется следующим образом: .Где  - дисперсии случайных переменных , а  их ковариация.Коэффициент парной корреляции является показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости между переменными и обладает следующими основными свойствами: 1) Коэффициент корреляции принимает значение в интервале (-1,+1), или |xy| < 1. 2) Коэффициент корреляции не зависит от выбора начала отсчета и единицы измерения, т.е. (α1X+β; α2Y+β)=xy, где α1, α2, - постоянные величины, причем α1>0, α2>0. 3) Случайные величины Х, Y, можно уменьшать (увеличивать) в α раз, а также вычитать или прибавлять к значениям одно и тоже число β – это не приведет к изменению коэффициента корреляции .При = ±1 случайные величины связаны линейной зависимостью, т.е.  .При = 0 линейная корреляционная связь отсутствует. В практических расчетах коэффициент корреляции генеральной совокупности обычно не известен. По результатам выборки может быть найдена его точечная оценка – выборочный коэффициент корреляции r, так как выборочная совокупность переменных случайна, то в отличие от параметра , r – случайная величина. Оценкой коэффициента корреляции  является выборочный коэффициент парной корреляции: = , (8.1)где  ,  - оценки дисперсий величин .Проверка значимости парного коэффициента корреляции Для оценки значимости коэффициента корреляции применяется t – критерий Стьюдента. При этом фактическое значение этого критерия еалиияяется по формуле:  (8.2)Вычисленное по этой формуле значение tнабл сравнивается с критическим значением t-критерия, которое берется из таблицы значений t – Стьюдента с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы. Если tнабл > tкр, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (то есть нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). И таким образом делается вывод о том, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь. Коэффициенты парной корреляции используются для измерения силы линейных связей различных пар переменных из их множества. Для множества m переменных n наблюдений получают матрицу коэффициентов парной корреляции R.  (8.3)Одной корреляционной матрицей нельзя полностью описать зависимости между величинами. В связи с этим, в многомерном корреляционном еаллизе рассматривается две задачи:
Эти задачи решаются с помощью коэффициентов множественной и частной корреляции, соответственно. Множественный коэффициент корреляции Решение первой задачи осуществляется с помощью выборочного коэффициента множественной корреляции по формуле  , (8.4)где  - определитель корреляционной матрицы R(8.3); - алгебраическое дополнение элемента rjj той же матрицыR.Квадрат коэффициента множественной корреляции  принято называть выборочным множественным коэффициентом детерминации, который показывает, какую долю вариации (случайного разброса) исследуемой величины Хj объясняет вариация остальных случайных величин X1, X2 , . . . , Xm.Коэффициенты множественной корреляции и детерминации являются величинами положительными, принимающими значения в интервале от 0 до 1. При приближении коэффициента R2 к единице можно сделать вывод о тесноте взаимосвязи случайных величин, но не о ее направлении. Коэффициент множественной корреляции может только увеличиваться, если в модель включать дополнительные переменные и не увеличится, если из имеющихся переменных производить исключение. Проверка значимости коэффициента множественной корреляции осуществляется путем сравнения расчетного значения критерия Фишера:  , (8.5)с табличным Fтабл. Табличное значение критерия определяется заданным уровнем значимости  и степенями свободы  и  . Коэффициент R2 значимо отличается от нуля, если выполняется неравенство .Частный коэффициент корреляции Если рассматриваемые случайные величины коррелируют друг с другом, то на величине коэффициента парной корреляции частично сказывается влияние других величин. В связи с этим возникает необходимость исследования частной корреляции между величинами при исключении влияния одной или нескольких других случайных величин. Выборочный частный коэффициент корреляции определяется по формуле:  ,где  – алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы (8.3).Частный коэффициент корреляции, так же как и парный коэффициент корреляции изменяется от –1 до +1. Пример 8.1. Вычисление коэффициентов парной, множественной и частной корреляции. В табл. 8.1. приведена информация об объёмах продаж и затратах на рекламу одной фирмы, а также индекс потребительских расходов за ряд текущих лет. Требуется:
Решение 1) Вытянутость облака точек на диаграмме рассеяния вдоль наклонной прямой позволяет сделать предположение о том, что существует некоторая объективная тенденция прямой линейной связи между значениями переменных x- индекс потребительских расходов и y- объёмы продаж. В нашем примере диаграмма рассеяния имеет вид, приведенный на рис. 8.1. Таблица 8.1
2) Промежуточные расчеты при вычислении коэффициента корреляции между переменными x- индекс потребительских расходов и y- объёмы продаж приведены в таблице 8.2. Средние значения случайных величин Х и Y, которые являются наиболее простыми показателями, характеризующими последовательности  и  , рассчитаем по формулам, соответственно:   .Дисперсия характеризуют степень разброса значений () вокруг своего среднего  ( , соответственно)  Стандартные ошибки случайных величин Х и Y рассчитаем по формулам, соответственно:   Рис. 8.1. Диаграмма рассеяния (корреляционное поле). Коэффициент корреляции рассчитаем по формуле (8.1):  Таблица 3.2.
3) Оценим значимость коэффициента корреляции. Для этого рассчитаем значение t – статистики по формуле  Табличное значение критерия Стьюдента равно: tтабл (α = 0,1; k = n – 2 = 14) =1,76. Сравнивая числовые значения критериев, видно, что tрасч > tтабл, т.е. полученное значение коэффициента корреляции значимо. Таким образом, индекс потребительских расходов оказывает весьма высокое влияние на объёмы продаж. 4) Матрица R коэффициентов парной корреляции, вычисленных по формуле (8.1) для трех факторов будет иметь вид:
5) Вычисление множественного коэффициента корреляции y c x1 и x2.  - определитель корреляционной матрицы R равен 0,1304. - алгебраическое дополнение 1-го диагонального элемента  той же матрицыR .6) Вычисление коэффициентов частной корреляции.   ,где  алгебраическое дополнение элемента  матрицыR, а  алгебраическое дополнение 2-го диагонального элемента  :  .Коэффициенты частной корреляции можно вычислить, используя коэффициенты парной корреляции:  |
