Главная страница

Задачи_Чертов_4_5. В с напряженностью н магнитного поля где магнитная проницаемость изотропной среды 0 магнитная постоянная. В вакууме 1, и тогда магнитная индукция в вакууме Закон


Скачать 1.03 Mb.
НазваниеВ с напряженностью н магнитного поля где магнитная проницаемость изотропной среды 0 магнитная постоянная. В вакууме 1, и тогда магнитная индукция в вакууме Закон
АнкорЗадачи_Чертов_4_5.doc
Дата30.09.2017
Размер1.03 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлаЗадачи_Чертов_4_5.doc
ТипЗакон
#10617
страница1 из 5
  1   2   3   4   5

4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Основные формулы

Связь магнитной индукции В с напряженностью Н магнитного поля



где  — магнитная проницаемость изотропной среды; 0—магнитная постоянная.

В вакууме  = 1, и тогда магнитная индукция в вакууме



Закон Био—Савара—Лапласа

или

где dB—магнитная индукция поля, создаваемого элементом провода длиной dl с током I; r—радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция;  — угол между радиус-вектором и направлением тока в элементе провода.

Магнитная индукция в центре кругового тока



где R — радиус кругового витка.

Магнитная индукция на оси кругового тока



где R — расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля прямого тока



где r0 — расстояние от оси провода до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током (см. рис. 31, а и пример 1),



а б

Рис. 31



Обозначения ясны из рисунка. Направление вектора магнитной индукции В обозначено точкой — это значит, что В направлен пер-пендикулярно плоскости чертежа к нам.

При симметричном расположении концов провода относительно точки, в которой определяется магнитная индукция (рис. 31,6), -cos2= cos1= cos тогда



Магнитная индукция поля соленоида



где n — отношение числа витков соленоида к его длине. Сила, действующая на провод с током в магнитном поле (закон Ампера),

, или

где l—длина провода; —угол между направлением тока в проводе и вектором магнитной индукции В. Это выражение справедливо для однородного магнитного поля и прямого отрезка провода. Если поле неоднородно и провод не является прямым, то закон Ампера можно применять к каждому элементу провода в отдельности:



Магнитный момент плоского контура с током



где n — единичный вектор нормали (положительной) к плоскости конту ра; I — сила тока, протекающего по контуру; S — площадь контура.

Механический (вращательный) момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле,

или

где  — угол между векторами pm и В.

Потенциальная энергия (механическая)* контура с током в магнитном поле

или .

Отношение магнитного момента pm к механическому L (моменту импульса) заряженной частицы, движущейся по крутой орбите,



где Q — заряд частицы; т — масса частицы.

Сила Лоренца**

или

где  — скорость заряженной частицы;  — угол между векторами v и В.

Магнитный поток:

а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности

или

где S — площадь контура;  — угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции:

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности (интегрирование ведется по всей поверхности)



Потокосцепление (полный поток)



Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной намоткой плотно прилегающих друг к другу N витков.

Работа по перемещению замкнутого контура в магнитном поле



Часть полной потенциальной энергии, которая обусловлена существованием механического (вращательного) момента (см.: Са­вельев И. В. Курс общей физики. М„ 1978. Т. 2. С. 129).

** Если частица находится одновременно в электрическом и маг-нитном полях, то под силой Лоренца понимают выражение



ЭДС индукции



Разность потенциалов на концах провода, движущегося со скоростью  в магнитном поле,



где l — длина провода;  — угол между векторами v и В.

Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур,

или

где R — сопротивление контура.

Индуктивность контура



ЭДС самоиндукции



Индуктивность соленоида



где п — отношение числа витков соленоида к его длине;

V — объем соленоида.

Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L:

а) (при замыкании цепи), где - ЭДС источника тока; t — время, прошедшее после замыкания цепи;

б) (при замыкании цепи), где -сила тока в цепи при t =0; t —время, прошедшее с момента размыкания цепи.

Энергия магнитного поля



Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии магнитного поля соленоида к его объему)

или или

где В — магнитная индукция; Н — напряженность магнитного поля.

Примеры решения задач

Пример 1. По отрезку прямого провода длиной l =80 см течет ток I=50 А. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого этим током, в точке А, равноудаленной от концов отрезка провода и находя- щейся на расстоянии r0 =30см от его середины.



Рис. 32

Решение. Для решения задач воспользуемся законом Био—Савара—Лапласа и принципом суперпозиции магнитных полей. Закон Био—Савара—Лапласа позволяет определить магнитную индукцию dB, создаваемую элементом тока Idl. Заметим, что вектор dB в точке А направлен за плоскость чертежа. Принцип суперпозиции позволяет для определения B воспользоваться геометрическим суммированием (интегрированием):

(1)

где символ l означает, что интегрирование распространяется на всю длину провода.

Запишем закон Био—Савара—Лапласа в векторной форме:

где dB— магнитная индукция, создаваемая элементом провода длиной dl с током I в точке, определяемой радиусом-вектором r ; 0 — магнитная постоянная;  — магнитная прони цаемость среды, в которой находится провод (в нашем случае  =1*).Заметим , что векторы dB от различных элемен тов тока сонаправлены (рис. 32), поэтому выражение (1) можно перепи сать в скалярной форме:

Во всех задачах, где это специально не оговорено, следует считать, что средой является воздух, для которого магнитная проницаемость принимается равной единице.

где

В скалярном выражении закона Био—Савара—Лапласа угол  есть угол между элементом тока Idl и радиусом-вектором r. Таким образом , (2)

Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы была одна перемен ная — угол  . Для этого выразим длину элемента провода dl через угол d: dl =rd/sin (рис. 32).

Тогда подынтегральное выражение запишем в виде . Заметим, что

переменная r также зависит от следовательно,

.

Таким образом, выражение (2) можно переписать в виде

,

где 1 и 2 — пределы интегрирования.

Выполним интегрирование:

(3)

Заметим, что при симметричном расположении точки A относительно отрезка провода cos 2 =— cos 1. С учетом этого формула (3) примет вид

. (4)

Из рис. 32 следует



Подставив выражение cos 1 в формулу (4), получим

(5)

Произведя вычисления по формуле (5), найдем

В =26,7 мкТл.

Направление вектора магнитной индукции В поля, создаваемого прямым током, можно определить по правилу буравчика (правилу правого винта). Для этого проводим магнитную силовую линию (штриховая линия на рис. 33) и по касательной к ней в интересующей нас точке проводим вектор В. Вектор магнитной индукции В в точке А (рис. 32) направлен перпендикулярно плоскости чертежа от нас.



Рис. 34
Пример 2. Два параллельных бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I =60 А, расположены на расстоянии d =10cM друг от друга. Определить маг- нитную индукцию В поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис. 34), отстоящей от оси одного проводника на расстоянии r1=5 см, от другого r2 = 12 см.

Решение. Для нахождения магнитной индукции В в точке A воспользуем ся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим нап равления магнитных индукций B1 и В2 полей, создаваемых каждым про-водником с током в отдельности, и сложим их геометрически:



Модуль вектора В может быть найден по теореме косинусов:

(1)

где —угол между векторами B1 и B2 .

Магнитные индукции B1 и B2 выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r1 и r2 от проводов до точки А:



Подставляя выражения B1 и B2 в формулу (1) и вынося 0 I /(2) за знак корня, получаем

(2)

Вычислим cos . Заметив, что  = DAC (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов запишем



где d - расстояние между проводами. Отсюда

Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисления:



Пример 3. По тонкому проводящему кольцу радиусом R =10 см течет ток I =80 А. Найти магнитную индукцию В в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r =20 см.

Решение. Для решения задачи воспользуемся законом Био—Савара—Лапласа:



где dB — магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока Idl в точке, определяемой радиусом-вектором r.

Выделим на кольце элемент dl и от него в точку А проведем радиус-вектор r (рис.35). Вектор dB направим в соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей,

магнитная индукция В в точке А определяется интегрированием:



где интегрирование ведется по всем элементам dl кольца.

Разложим вектор dB на две составляющие: dB , перпендикулярную плоскости кольца, и dB параллельную плоскости кольца, т. е.





Рис. 35

Тогда



Заметив, что из соображений симметрии и что векторы dB от различных элементов dl сонаправлены, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:



где и (поскольку dl перпендикулярен r и, следовательно, sin=1). Таким образом,



После сокращения на 2 и замены cos  на R / r (рис. 35) получим



Проверим, дает ли правая часть равенства единицу магнитной индукции (Тл):



Здесь мы воспользовались определяющей формулой для магнитной индукции



Тогда



Выразим все величины в единицах СИ и произведем вычисления:

  1   2   3   4   5
написать администратору сайта