Главная страница
Навигация по странице:

Лекции Общие понятия математики 14. Элементы теории множеств



Скачать 0.75 Mb.
Название Элементы теории множеств
Анкор Лекции Общие понятия математики 14.doc
Дата 26.04.2017
Размер 0.75 Mb.
Формат файла doc
Имя файла Лекции Общие понятия математики 14.doc
Тип Курс лекций
#3808
страница 1 из 9
  1   2   3   4   5   6   7   8   9

Курс лекций по математике
(составитель: старший преподаватель
кафедры ПиМНО Керова Г. В. )


Раздел 1. Общие понятия математики

Глава 1. Элементы теории множеств

§ 1. Понятие множества. Элемент множества. Пустое множество


Множество – основное понятие математики и поэтому не определяется через другие.

Обычно под множеством понимают совокупность предметов, объединенных по общему признаку. Так, можно говорить о множестве студентов в группе, множестве букв русского алфавита и т.д. В повседневной жизни вместо слова «множество» употребляют слова «набор», «коллекция», «группа» и т.д. Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, ..., Z.

Для числовых множеств в математике приняты специальные обозначения:

N – множество натуральных чисел;

N0 множество целых неотрицательных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел.
Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами. Например, сентябрь является элементом множества месяцев в году, число 5 – элемент множества натуральных чисел. Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита. Элементами множества могут быть множества. Так можно говорить о множестве групп института. Элементы этого множества – группы, являющиеся в свою очередь множествами студентов.

Связь между множеством и его элементом выражают при помощи слова «принадлежит». Высказывание «Элемент а принадлежит множеству А» записывают так: аА, причем эта запись может быть прочитана иначе: «а – элемент множества А», «множество А содержит элемент а». Высказывание «Элемент а не принадлежит множеству А» записывают так: аА (иначе: «а не является элементом множества А», «множество А не содержит элемент а»).

Если в обыденной речи слово «множество» связывают с большим числом предметов, то в математике этого не требуется. Множество может содержать один элемент, не содержать ни одного элемента.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом . Существует лишь одно пустое множество. Примерами пустого множества могут служить множество людей на Солнце, множество натуральных корней уравнения х + 8 = 0.

Множества могут быть конечными и бесконечными.

Множество называется конечным, если существует натуральное число п, такое, что все элементы множества можно перенумеровать числами от 1 до п. в противном случае множество называют бесконечным. Примером конечного множества является множество цифр, бесконечного – множество натуральных чисел.

§ 2. Способы задания множеств



Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

Множество можно задать, перечислив все его элементы. Запись С = {а, б, в, г} обозначает, что множество С содержит элементы а, б, в, г.

Каждый элемент входит в множество только один раз. Например, множество различных букв в слове «математика» запишется так: {м, а, т, е, и, к}.

Данный способ применим для конечных множеств, которые содержат небольшое число элементов.

Иногда, используя данный способ, можно задать и бесконечное множество. Например, множество натуральных чисел может быть представлено в виде: N = {1, 2, 3, 4, ...}. Такой способ записи возможен лишь тогда, когда из записанной части множества видно, что скрывается под многоточием.

Другой способ задания множеств состоит в следующем: указывают характеристическое свойство его элементов. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество двузначных чисел, делящихся на 11 и множество натуральных чисел первой сотни, записанных двумя одинаковыми цифрами, содержат одни и те же элементы.

При данном способе задания множество может быть записано так: в фигурных скобках пишут сначала обозначение элемента, затем проводят вертикальную черту, после которой записывают свойство, которым обладают элементы данного множества. Например, множество А натуральных чисел, меньших 5, запишется так: А = {ххN, х < 5}.

§ 3. Отношения между множествами. Графическая иллюстрация множеств



Определение. Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно множествам А и В, то говорят, что эти множества пересекаются.

Например, множества А = {1, 2, 3, 4} и В = {0, 3, 5} пересекаются, т.к. имеют общий
элемент 3.

На диаграмме пересекающиеся множества изображают следующим образом:




А В

Определение. Множества А и В не пересекаются, если не имеют общих элементов.

Множества А = {1, 2, 3, 4} и В = {0, 8, 5} не пересекаются.

Если множества не пересекаются, то их изображают следующим образом:



А В
Определение. Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначают: А = В.

Например, множества А = {1, 2, 3} и В = {2, 3, 1} равны, т.к. состоят из одинаковых элементов. Таким образом, множество не изменится, если переставить его элементы. С понятием равных множеств связано следующее положение: одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств.

Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В принадлежит множеству А (обозначают ВА).

Согласно данному определению, каждое множество является подмножеством самого себя. Кроме этого считают, что пустое множество есть подмножество любого множества. Само множество и пустое множество называют несобственными подмножествами; все остальные подмножества множества А, если они существуют, – собственные подмножества.

Например, множество А = {1, 2, 3} имеет шесть собственных подмножеств А1 = {1}, А2 = {2}, А3 = {3}, А4 = {1, 2}, А5 = {1, 3}, А6 = {2, 3} и два несобственных подмножества А7 = {1, 2, 3} и А8 = .

Доказано, что если множество состоит из п элементов, то у него 2п различных подмножеств.

Если ВА и АВ, то А = В. Отсюда вытекает один из способов доказательства равенства множеств: если доказано, что любой элемент из множества А является элементом множества В и, в свою очередь, любой элемент из множества В является элементом множества А, то делают вывод, что А = В.

Часто случается, что все множества, рассматриваемые в задаче, являются подмножествами одного и того же множества. Такое множество называют универсальным (обозначают I).

Условимся изображать универсальное множество прямоугольником, а его подмножества – кругами в этом прямоугольнике.

Описанный способ изображения множеств носит названия кругов Эйлера или диаграмм Венна. Мы будем подобные изображения называть диаграммами Эйлера-Венна.

§ 4. Операции над множествами



Из элементов двух и более множеств можно образовывать новые множества.
1. Пересечение множеств.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множествам А и В одновременно (обозначают АВ).

Данное определение можно записать в таком виде:

АВ = {ххАхВ}.

На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.

А В





Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что множества не пересекаются, и пишут АВ = .

Если элементы множеств А и В перечислены, то чтобы найти их пересечение, достаточно перечислить элементы, которые одновременно принадлежат множеству А и множеству В, т.е. их общие элементы.

Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда АВ = {4, 5}.

Если множества А и В заданы указанием их характеристических свойств, то в их пересечение войдут только те элементы, которые обладают одним и другим свойством одновременно.

Например, если множество А – множество однозначных чисел, В – множество натуральных чисел, делящихся на 5, то множеству АВ принадлежат натуральные числа, делящиеся на 5.
2. Объединение множеств.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств (обозначают АВ).

Данное определение можно записать в таком виде:

АВ = {ххАхВ}.

На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.

А В


Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда АВ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Рассмотрим случай, когда множества заданы указанием характеристического свойства. Пусть А – множество чисел, кратных 2; В – множество чисел, кратных 3. Тогда объединению этих множеств будут принадлежать числа, кратные 2 или 3.

Понятие пересечения и объединения множеств можно обобщить на любое конечное число множеств.
3. Разность множеств.

Определение. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В (обозначают А \ В).

Данное определение можно записать так:

А \ В = {ххАхВ}.

На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.

А В


Если А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А \ В = {1, 2, 3}.

Часто приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из множеств является подмножеством другого. Если ВА, то разность А \ В называют дополнением множества В до множества А (обозначают ).

Множество на рисунке показано штриховкой.

А


В

Определение. Дополнением множества А до универсального называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат универсальному, но не принадлежат множеству А (обозначают ).

Например, если I – множество цифр, а множество А = {1, 2, 3, 4, 5}, то = {6, 7, 8, 9, 0}.

Если множества заданы указанием характеристического свойства и ВА, то множество с помощью характеристического свойства, общий вид которого «хАхВ». Так, если А множество натуральных чисел, кратных 3, а В – множество натуральных чисел, кратных 9, то – это множество, содержащее натуральные числа, кратные 3, но не кратные 9.

Мы рассмотрели различные операции над множествами. Часто для доказательства равенства множеств бывает необходимо знать, в каком случае элемент принадлежит тому или иному множеству. Для удобства составим таблицу.


х Î А Ç Вх Î А Ù х Î В

хА Ç ВхАхВ

х Î АВх Î Ах Î В

хАВхА Ù хВ

х Î А \ Вх Î А Ù хВ

хА \ ВхАх Î В

х Î хА

хх ÎА

Выясним, каков порядок выполнения действий над множествами.

Пересечение множеств – более «сильная» операция, чем объединение, поэтому в выражении АВС вначале нужно найти пересечение множеств В и С, а затем найти объединение множества А с полученным множеством.

Условились считать, что пересечение – более «сильная» операция, чем вычитание, поэтому в выражении А \ ВС сначала находят пересечение множеств В и С, а затем полученное множество вычитают из множества А.

Объединение и вычитание множеств считают равноправными, поэтому их выполняют в том порядке, в каком они записаны в выражении.

§ 5. Законы операций над множествами





  1. Коммутативные законы

АВ = В Ç А

АВ = В È А

  1. Ассоциативные законы

А Ç (В Ç С) = (А Ç ВС

А È (В È С) = (А È В) È С

  1. Дистрибутивные законы

А Ç (В È С) = (А Ç В)È (А Ç С)

А È (В Ç С) = (А È В)Ç (А È С)

  1. А Ç А = А

А È А = А

  1. А Ç I= А

А ÈI= I

  1. А Ç = 

А È Æ= А

  1. А Ç = Æ

А È = I

8.



9. А \ В = А Ç

10. = А
Контрольные вопросы


  1. Что понимают под множеством?

  2. Как называют объекты, из которых образовано множество?

  3. Какое множество называют пустым?

  4. Какие множества называют конечными и бесконечными?

  5. В каком случае считают, что множество задано?

  6. Укажите способы задания множеств.

  7. В каком случае множество А является подмножеством множества В?

  8. Какие подмножества называют собственными и несобственными?

  9. Какие множества называют равными?

  10. Сформулируйте свойство равенства множеств.

  11. Какое множество называют пересечением, объединением, разностью множеств, дополнением одного множества до другого, дополнением множества до универсального?


§ 6. Число элементов объединения двух и трех конечных множеств



В математике часто приходится решать задачи, в которых требуется определить число элементов в множестве, либо в объединении или пересечении множеств.

Условимся число элементов конечного множества А обозначать п (А).

Пусть А = {a, b, c, d}, п (А) = 4; В = {e, f}, п (В) = 2. Множества А и В не пересекаются, т.е. АВ = .

АВ ={a, b, c, d, e, f}, п (АВ) = 6, т.е. п (АВ) = п (А) + п (В).

Рассмотрим еще один пример. А = {a, b, c, d}, п (А) = 4; В = {c, d, e}, п (В) = 3. В данном примере множества А и В пересекаются, т.е. А  В  .

АВ = {a, b, c, d, e}, п (АВ) = 5, т.е. п (АВ)  п (А) + п (В).

Вообще, если заданы конечные множества, такие что А  В  , то число элементов в их объединении подсчитывают по формуле

п (АВ) = п (А) + п (В) – п (АВ).

Если даны три конечных множества А, В, С, то число элементов в их объединении можно найти по формуле:

п (АВС) = п (А) + п (В) + п (С) – п (АВ) – п (АС) – п (ВС) + + п (АВС)

§ 7. Понятие разбиения множества на классы



Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации.

Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества.

Определение. Множество А разбито на классы А1, А2, ..., Ап, если:

  1. подмножества А1, А2, ..., Ап не пусты;

  2. подмножества А1, А2, ..., Ап попарно не пересекаются;

  3. объединение подмножеств совпадает с множеством А.

Если не выполнено хотя бы одно свойство, то классификацию считают неправильной.

Например, если множество треугольников разбить на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные, то разбиение будет выполнено верно, т.к. выполнены все условия, данные в определении.

Если из множества треугольников выделить подмножества равносторонних, равнобедренных и разносторонних треугольников, то разбиения мы не получим, т.к. множество равносторонних треугольников является подмножеством равнобедренных треугольников, т.е. не выполняется второе условие разбиения множества на классы.

Пример 1. Пусть А – множество двузначных чисел. Рассмотрим на этом множестве свойство «быть четным».

А

М
А1

А2
ножество А разбилось на два подмножества:

А1 – множество четных чисел,

А2 – множество нечетных чисел, при этом

А1А2 = А и А1А2 = .

Т.о. задание одного свойства приводит к разбиению этого множества на 2 класса.
Пример 2. Пусть А – множество треугольников. Рассмотрим на данном множестве два свойства: «быть прямоугольным» и «быть равнобедренным». При помощи этих свойств из множества треугольников можно выделить 2 подмножества: В – множество прямоугольных треугольников и С – множество равнобедренных треугольников. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого.
По рисунку видно, что получилось 4 класса:

IВС – множество равнобедренных прямоугольных треугольников;

II – В – множество прямоугольных, но не равнобедренных треугольников;

III – С – множество равнобедренных, но не прямоугольных треугольников;

IV – – множество не равнобедренных и не прямоугольных треугольников.
Т.о. с помощью двух свойств множество разбилось на 4 класса, таких, что их пересечение пусто, а их объединение составляет множество А.

Следует отметить, что задание двух свойств приводит к разбиению множества на 4 класса не всегда.

Пример 3. Пусть А – множество треугольников. Рассмотрим на данном множестве два свойства: «быть прямоугольным» и «быть остроугольным». При помощи этих свойств из множества треугольников можно выделить 2 подмножества: В – множество прямоугольных треугольников и С – множество остроугольных треугольников. Эти множества не пересекаются. По рисунку видно, что при помощи этих свойств множество треугольников разбивается на три класса:

I – множество прямоугольных треугольников;

II – множество остроугольных треугольников;

III – множество не прямоугольных, не остроугольных треугольников.
Контрольные вопросы


  1. При каких условиях считают, что множество разбито на классы?

  2. Как определить число элементов в объединении двух или трех конечных множеств?
  1   2   3   4   5   6   7   8   9
написать администратору сайта