Навигация по странице:
|
Лекции Общие понятия математики 14. Элементы теории множеств
|
Название |
Элементы теории множеств
|
Анкор |
Лекции Общие понятия математики 14.doc |
Дата |
26.04.2017 |
Размер |
0.75 Mb. |
Формат файла |
|
Имя файла |
Лекции Общие понятия математики 14.doc |
Тип |
Курс лекций
#3808
|
страница |
1 из 9 |
|
Курс лекций по математике
(составитель: старший преподаватель
кафедры ПиМНО Керова Г. В. )
Раздел 1. Общие понятия математики
Глава 1. Элементы теории множеств
§ 1. Понятие множества. Элемент множества. Пустое множество
Множество – основное понятие математики и поэтому не определяется через другие.
Обычно под множеством понимают совокупность предметов, объединенных по общему признаку. Так, можно говорить о множестве студентов в группе, множестве букв русского алфавита и т.д. В повседневной жизни вместо слова «множество» употребляют слова «набор», «коллекция», «группа» и т.д. Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, ..., Z.
Для числовых множеств в математике приняты специальные обозначения:
N – множество натуральных чисел;
N0 – множество целых неотрицательных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
R – множество действительных чисел.
Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами. Например, сентябрь является элементом множества месяцев в году, число 5 – элемент множества натуральных чисел. Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита. Элементами множества могут быть множества. Так можно говорить о множестве групп института. Элементы этого множества – группы, являющиеся в свою очередь множествами студентов.
Связь между множеством и его элементом выражают при помощи слова «принадлежит». Высказывание «Элемент а принадлежит множеству А» записывают так: а А, причем эта запись может быть прочитана иначе: «а – элемент множества А», «множество А содержит элемент а». Высказывание «Элемент а не принадлежит множеству А» записывают так: а А (иначе: «а не является элементом множества А», «множество А не содержит элемент а»).
Если в обыденной речи слово «множество» связывают с большим числом предметов, то в математике этого не требуется. Множество может содержать один элемент, не содержать ни одного элемента.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом . Существует лишь одно пустое множество. Примерами пустого множества могут служить множество людей на Солнце, множество натуральных корней уравнения х + 8 = 0.
Множества могут быть конечными и бесконечными.
Множество называется конечным, если существует натуральное число п, такое, что все элементы множества можно перенумеровать числами от 1 до п. в противном случае множество называют бесконечным. Примером конечного множества является множество цифр, бесконечного – множество натуральных чисел.
§ 2. Способы задания множеств
Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.
Множество можно задать, перечислив все его элементы. Запись С = {а, б, в, г} обозначает, что множество С содержит элементы а, б, в, г.
Каждый элемент входит в множество только один раз. Например, множество различных букв в слове «математика» запишется так: {м, а, т, е, и, к}.
Данный способ применим для конечных множеств, которые содержат небольшое число элементов.
Иногда, используя данный способ, можно задать и бесконечное множество. Например, множество натуральных чисел может быть представлено в виде: N = {1, 2, 3, 4, ...}. Такой способ записи возможен лишь тогда, когда из записанной части множества видно, что скрывается под многоточием.
Другой способ задания множеств состоит в следующем: указывают характеристическое свойство его элементов. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.
Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество двузначных чисел, делящихся на 11 и множество натуральных чисел первой сотни, записанных двумя одинаковыми цифрами, содержат одни и те же элементы.
При данном способе задания множество может быть записано так: в фигурных скобках пишут сначала обозначение элемента, затем проводят вертикальную черту, после которой записывают свойство, которым обладают элементы данного множества. Например, множество А натуральных чисел, меньших 5, запишется так: А = {ххN, х < 5}.
§ 3. Отношения между множествами. Графическая иллюстрация множеств
Определение. Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно множествам А и В, то говорят, что эти множества пересекаются.
Например, множества А = {1, 2, 3, 4} и В = {0, 3, 5} пересекаются, т.к. имеют общий
элемент 3.
На диаграмме пересекающиеся множества изображают следующим образом:
А В
Определение. Множества А и В не пересекаются, если не имеют общих элементов.
Множества А = {1, 2, 3, 4} и В = {0, 8, 5} не пересекаются.
Если множества не пересекаются, то их изображают следующим образом:
А В
Определение. Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначают: А = В.
Например, множества А = {1, 2, 3} и В = {2, 3, 1} равны, т.к. состоят из одинаковых элементов. Таким образом, множество не изменится, если переставить его элементы. С понятием равных множеств связано следующее положение: одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств.
Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В принадлежит множеству А (обозначают В А).
Согласно данному определению, каждое множество является подмножеством самого себя. Кроме этого считают, что пустое множество есть подмножество любого множества. Само множество и пустое множество называют несобственными подмножествами; все остальные подмножества множества А, если они существуют, – собственные подмножества.
Например, множество А = {1, 2, 3} имеет шесть собственных подмножеств А1 = {1}, А2 = {2}, А3 = {3}, А4 = {1, 2}, А5 = {1, 3}, А6 = {2, 3} и два несобственных подмножества А7 = {1, 2, 3} и А8 = .
Доказано, что если множество состоит из п элементов, то у него 2п различных подмножеств.
Если В А и А В, то А = В. Отсюда вытекает один из способов доказательства равенства множеств: если доказано, что любой элемент из множества А является элементом множества В и, в свою очередь, любой элемент из множества В является элементом множества А, то делают вывод, что А = В.
Часто случается, что все множества, рассматриваемые в задаче, являются подмножествами одного и того же множества. Такое множество называют универсальным (обозначают I).
Условимся изображать универсальное множество прямоугольником, а его подмножества – кругами в этом прямоугольнике.
Описанный способ изображения множеств носит названия кругов Эйлера или диаграмм Венна. Мы будем подобные изображения называть диаграммами Эйлера-Венна.
§ 4. Операции над множествами
Из элементов двух и более множеств можно образовывать новые множества.
1. Пересечение множеств.
Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множествам А и В одновременно (обозначают А В).
Данное определение можно записать в таком виде:
А В = {хх А х В}.
На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.
А В
Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что множества не пересекаются, и пишут А В = .
Если элементы множеств А и В перечислены, то чтобы найти их пересечение, достаточно перечислить элементы, которые одновременно принадлежат множеству А и множеству В, т.е. их общие элементы.
Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А В = {4, 5}.
Если множества А и В заданы указанием их характеристических свойств, то в их пересечение войдут только те элементы, которые обладают одним и другим свойством одновременно.
Например, если множество А – множество однозначных чисел, В – множество натуральных чисел, делящихся на 5, то множеству А В принадлежат натуральные числа, делящиеся на 5.
2. Объединение множеств.
Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств (обозначают А В).
Данное определение можно записать в таком виде:
А В = {хх А х В}.
На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.
А В
Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Рассмотрим случай, когда множества заданы указанием характеристического свойства. Пусть А – множество чисел, кратных 2; В – множество чисел, кратных 3. Тогда объединению этих множеств будут принадлежать числа, кратные 2 или 3.
Понятие пересечения и объединения множеств можно обобщить на любое конечное число множеств.
3. Разность множеств.
Определение. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В (обозначают А \ В).
Данное определение можно записать так:
А \ В = {хх А х В}.
На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.
А В
Если А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А \ В = {1, 2, 3}.
Часто приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из множеств является подмножеством другого. Если В А, то разность А \ В называют дополнением множества В до множества А (обозначают ).
Множество на рисунке показано штриховкой.
А
В
Определение. Дополнением множества А до универсального называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат универсальному, но не принадлежат множеству А (обозначают ).
Например, если I – множество цифр, а множество А = {1, 2, 3, 4, 5}, то = {6, 7, 8, 9, 0}.
Если множества заданы указанием характеристического свойства и В А, то множество с помощью характеристического свойства, общий вид которого «х А х В». Так, если А множество натуральных чисел, кратных 3, а В – множество натуральных чисел, кратных 9, то – это множество, содержащее натуральные числа, кратные 3, но не кратные 9.
Мы рассмотрели различные операции над множествами. Часто для доказательства равенства множеств бывает необходимо знать, в каком случае элемент принадлежит тому или иному множеству. Для удобства составим таблицу.
-
х Î А Ç В х Î А Ù х Î В
х А Ç В х А х В
|
х Î А В х Î А х Î В
х А В х А Ù х В
|
х Î А \ В х Î А Ù х В
х А \ В х А х Î В
|
х Î х А
х х ÎА
|
Выясним, каков порядок выполнения действий над множествами.
Пересечение множеств – более «сильная» операция, чем объединение, поэтому в выражении А В С вначале нужно найти пересечение множеств В и С, а затем найти объединение множества А с полученным множеством.
Условились считать, что пересечение – более «сильная» операция, чем вычитание, поэтому в выражении А \ В С сначала находят пересечение множеств В и С, а затем полученное множество вычитают из множества А.
Объединение и вычитание множеств считают равноправными, поэтому их выполняют в том порядке, в каком они записаны в выражении.
§ 5. Законы операций над множествами
Коммутативные законы
А В = В Ç А
А В = В È А
Ассоциативные законы
А Ç (В Ç С) = (А Ç В)Ç С
А È (В È С) = (А È В) È С
Дистрибутивные законы
А Ç (В È С) = (А Ç В)È (А Ç С)
А È (В Ç С) = (А È В)Ç (А È С)
А Ç А = А
А È А = А
А Ç I= А
А ÈI= I
А Ç =
А È Æ= А
А Ç = Æ
А È = I
8.
9. А \ В = А Ç
10. = А
Контрольные вопросы
Что понимают под множеством?
Как называют объекты, из которых образовано множество?
Какое множество называют пустым?
Какие множества называют конечными и бесконечными?
В каком случае считают, что множество задано?
Укажите способы задания множеств.
В каком случае множество А является подмножеством множества В?
Какие подмножества называют собственными и несобственными?
Какие множества называют равными?
Сформулируйте свойство равенства множеств.
Какое множество называют пересечением, объединением, разностью множеств, дополнением одного множества до другого, дополнением множества до универсального?
§ 6. Число элементов объединения двух и трех конечных множеств
В математике часто приходится решать задачи, в которых требуется определить число элементов в множестве, либо в объединении или пересечении множеств.
Условимся число элементов конечного множества А обозначать п (А).
Пусть А = {a, b, c, d}, п (А) = 4; В = {e, f}, п (В) = 2. Множества А и В не пересекаются, т.е. А В = .
А В ={a, b, c, d, e, f}, п (А В) = 6, т.е. п (А В) = п (А) + п (В).
Рассмотрим еще один пример. А = {a, b, c, d}, п (А) = 4; В = {c, d, e}, п (В) = 3. В данном примере множества А и В пересекаются, т.е. А В .
А В = {a, b, c, d, e}, п (А В) = 5, т.е. п (А В) п (А) + п (В).
Вообще, если заданы конечные множества, такие что А В , то число элементов в их объединении подсчитывают по формуле
п (А В) = п (А) + п (В) – п (А В).
Если даны три конечных множества А, В, С, то число элементов в их объединении можно найти по формуле:
п (А В С) = п (А) + п (В) + п (С) – п (А В) – п (А С) – п (В С) + + п (А В С)
§ 7. Понятие разбиения множества на классы
Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации.
Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества.
Определение. Множество А разбито на классы А1, А2, ..., Ап, если:
подмножества А1, А2, ..., Ап не пусты;
подмножества А1, А2, ..., Ап попарно не пересекаются;
объединение подмножеств совпадает с множеством А.
Если не выполнено хотя бы одно свойство, то классификацию считают неправильной.
Например, если множество треугольников разбить на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные, то разбиение будет выполнено верно, т.к. выполнены все условия, данные в определении.
Если из множества треугольников выделить подмножества равносторонних, равнобедренных и разносторонних треугольников, то разбиения мы не получим, т.к. множество равносторонних треугольников является подмножеством равнобедренных треугольников, т.е. не выполняется второе условие разбиения множества на классы.
Пример 1. Пусть А – множество двузначных чисел. Рассмотрим на этом множестве свойство «быть четным».
А
М
А1
А2
ножество А разбилось на два подмножества:
А1 – множество четных чисел,
А2 – множество нечетных чисел, при этом
А1 А2 = А и А1 А2 = .
Т.о. задание одного свойства приводит к разбиению этого множества на 2 класса.
Пример 2. Пусть А – множество треугольников. Рассмотрим на данном множестве два свойства: «быть прямоугольным» и «быть равнобедренным». При помощи этих свойств из множества треугольников можно выделить 2 подмножества: В – множество прямоугольных треугольников и С – множество равнобедренных треугольников. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого.
По рисунку видно, что получилось 4 класса:
I – В С – множество равнобедренных прямоугольных треугольников;
II – В – множество прямоугольных, но не равнобедренных треугольников;
III – С – множество равнобедренных, но не прямоугольных треугольников;
IV – – множество не равнобедренных и не прямоугольных треугольников.
Т.о. с помощью двух свойств множество разбилось на 4 класса, таких, что их пересечение пусто, а их объединение составляет множество А.
Следует отметить, что задание двух свойств приводит к разбиению множества на 4 класса не всегда.
Пример 3. Пусть А – множество треугольников. Рассмотрим на данном множестве два свойства: «быть прямоугольным» и «быть остроугольным». При помощи этих свойств из множества треугольников можно выделить 2 подмножества: В – множество прямоугольных треугольников и С – множество остроугольных треугольников. Эти множества не пересекаются. По рисунку видно, что при помощи этих свойств множество треугольников разбивается на три класса:
I – множество прямоугольных треугольников;
II – множество остроугольных треугольников;
III – множество не прямоугольных, не остроугольных треугольников.
Контрольные вопросы
При каких условиях считают, что множество разбито на классы?
Как определить число элементов в объединении двух или трех конечных множеств?
|
|
|