Главная страница
Навигация по странице:

Методические указания для студентов по проведению практических работ по дисциплине Математика
Скачать 1.59 Mb.
Название Методические указания для студентов по проведению практических работ по дисциплине Математика
Анкор Metodicheskie_ukazania.docx
Дата 13.04.2017
Размер 1.59 Mb.
Формат файла docx
Имя файла Metodicheskie_ukazania.docx
Тип Методические указания
#916
страница 4 из 6
1   2   3   4   5   6
Тема работы: Решение дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Теоретическая справка

Если коэффициенты при у, yи y– постоянные, то уравнение ypyqy 0, где p и q – вещественные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение уравнения имеет вид: y0C y1C y2, где у1 и у2 – два линейно независимых частных решения этого уравнения, С1 и С2 – произвольные постоянные.

Для нахождения линейно независимых частных решений у1 и у2 уравнения используется квадратное уравнение вида

k2pk q 0 , которое называется характеристическим уравнениемдля уравнения.

В таблице 1 приведены виды функций у1 и у2 и вид общего решения равнения в зависимости от вида корней характеристического уравнения.

Таблица 1.

Корни характеристического уравнения
Вид функций у1 и у2
Вид общего решения уравнения

Вещественные

различные k1k2
y1=ek1x

y2=ek2x
y0=C1 ek1x+C2 ek2x

Вещественные равные

k1k2k
y1ekx,

y2=xekx
y0=C1 ekx+C2 xekx

Комплексно-

сопряженные

k1,2 i
y1 =e xcos(x),

y2e xsin(x
y= e x(C1 cos(x)+C2 sin(x 


Пример 1. Найти общее решение уравнения y16y 0.

Решение. Характеристическое уравнение для данного однородного уравнения имеет вид k216 0 (коэффициент при yравен нулю). Его корнями являются комплексные числа k1 4i, k2 4i. Здесь 0, 4. Тогда общее решение данного уравнения: y C1 cos(4x) C2 sin(4x).

Индивидуальные задания

Найдите общее решение уравнения

  1. y"- 6y' + 9y=0

  2. y" + 2y' + y=0

  3. y" + 10y' + 25y=0

Найдите частные решения уравнения

  1. y" - 10y' + 25y = 0; y = 2 и y' = 8 при x = 0;

  2. y" + 6y' + 9y=0; y = 1 и y' = 2 при x = 0;

Найдите общее решение уравнения

  1. y" + 9y' = 0

  2. y"- 2y' + 5y = 0

  3. y"+ 4y' + 7y = 0

Найдите частные решения уравнения

  1. y"+ 9y = 0; y = 1 и y' = -6 при x = π/3;

  2. y"- 4y' + 5y = 0; y = 1 и y' = -1 при x = 0.

Практическая работа №9

Тема работы: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраическом виде

Теоретическая справка

Комплексным числом z называется выражение вида

z=x+iy,

(алгебраическая форма числа z), где x и y- вещественные числа, i-мнимая единица, определяемая условием i2=-1.

Число называется сопряженным к z.

Если z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, то

z1z2=(x1x2)+i(y1y2).

z1z2=(x1iy1)(x2+iy2)=x1x2+ix1y2++ix2y1+i2y1y2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1)

При делении двух комплексных чисел следует числитель и знаменатель умножить на - число, сопряженное к знаменателю.


Число r (рис.1) называется модулем комплексного числа z и обозначается :



Угол  называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z, при этом tg=

О

y



r

M

x

Аргумент  определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого, кратного 2: =argz+2R , R=0,1,2,…,

где - 

Так как x=rcos, y=r sin, то комплексное число z можно представить в виде:

z=x+iy=r(cos+i sin)=|z|(cos+i sin)

Такая запись называется тригонометрической формой комплексного числа z.

Если заданы два комплексных числа в тригонометрической форме z1=r1(cos1+isin1) и z2=r2(cos2+isin2), то

z1z2=r1r2(cos(1+2)+i sin(1+2)),

zn=rn(cos n+i sin n).

Корнем n-jq степени из комплексного числа z называется такое комплексное число , что

n=z

Обозначение для корня: =. Корень n-ой степени из числа z=r (cos+isin) имеет n различных значений, определяемых по формуле

,

R=0,1,…, n-1.

Геометрически числа R располагаются в вершинах правильного n-угольника, вписанного в круг радиуса с центром в начале координат.
Пример 1.7. Дано комплексное число z=

  1. Записать число z в алгебраической и тригонометрической формах.

  2. Найти

Решение.

1) алгебраическая форма

;

Так как число z находится в 4-й четверти, то .

Таким образом, тригонометрическая форма числа z:



2) .

где R принимает значения 0,1,2.
При R=0





При R=1





При R=2





Практическая работа № 10

Тема работы: Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

Теоретическая справка

Рассмотрим действия над комплексными числами в тригонометрической форме записи.

Если комплексные числа z1 и z2 представить в тригонометрической форме: то

1)

2)

3) (формула Муавра)

Таким образом:

  • произведением двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, является комплексное число, модуль которого равен произведению модулей этих чисел, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей;

  • частным от деления двух комплексных чисел является комплексное число, модуль которого равен отношению модулей этих комплексных чисел, а аргумент равен разности их аргументов;

  • n-ой степенью комплексного числа является число, модуль которого есть n-ая степень модуля первоначального числа, а аргумент равен произведению числа n на аргумент первоначального числа.

Пример 1. Записать комплексные числа и в тригонометрической форме и найти z1 · z2; и

Решение. 1) Найдем модуль и аргумент числа z1.

По определению . Для числа z1: a =1; b = - 1, тогда .

Найдем аргумент:



2) Запишем число в тригонометрической форме:

3) аналогично найдем модуль и аргумент числа z2, и запишем его в тригонометрической форме: .

4) Найдем произведение z1 · z2

z1·z2== ;

Найдем частное :

==

Найдем степень

= = =

Кроме умножения, деления, возведения в степень, тригонометрическая форма записи позволяет извлекать корни п-ой степени из комплексного числа.

Индивидуальные задания

Задание 1. Представить комплексные числа в тригонометрической форме

  1. -2;

  2. i;

  3. -2i;



Задание 2. Представить комплексные числа в алгебраической форме

  1. z= 5(cos(π/2)+isin(π/2))

  2. z= 4(cos(-π/3)+isin(-π/3))

  3. z=cos(π + isin(π))

  4. z= 2(cos(π/4) + isin(π/4))

Задание 4. Найти произведение

  1. (3(cos(π/8) + isin(π/8)))*(cos(5π/24) + isin(5π/24))

  2. (2(cos(π/3) + isin(π/3))*(5(cos(-π/4) + isin(-π/4)))

Задание 5. Выполнить деление комплексных чисел в тригонометрической форме

  1. (3(cos(3π/4) + isin(3π/4))) ÷ (cos(π/2) + isin(π/2))

  2. (cos(210°) + isin(210°)) ÷ (cos(150°) + isin(150°))

  3. (cos(-π/3) + isin(-π/3)) ÷ (cos(-π/6) + isin(-π/6))

  4. (cos(150°) + isin(150°)) ÷ (cos(-120°) + isin(-120°))


Практическая работа № 11

Тема работы: решение задач по комбинаторике. Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятностей.

Теоретическая справка

Комбинаторными задачами называются задачи, в которых необходимо подсчитать, сколькими способами можно сделать тот или иной выбор, выполнить какое-либо условие.

Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов:

, где n!=1*2*3*…*n

Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов:

.

Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов:



Свойства сочетаний:



Классическое определение вероятности: вероятность Р(А) события А равна отношению числа возможных результатов опыта (М), благоприятствующих событию А, к числу всех возможных результатов опыта (N):

.

Вероятность противоположного события определяется по формуле: р()=1- р(А).

Для несовместных событий вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле:

р(А+В)=р(А)+р(В).

Вероятность суммы двух любых случайных событий равна р(А+В)=р(А)+р(В)-р(АВ).

Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло, называется



Пример. В урне лежит N шаров, из них n белых. Из неё достают шар и, не кладя его обратно, достают ещё один. Чему равна вероятность того, что оба шара белые?

Решение. Обозначим А – событие, состоящее в том, что первым вынули белый шар, через В событие, состоящее в том, что первым вынули чёрный шар, а через С событие, состоящее в том, что вторым вынули белый шар; тогда

; ; ; ;

Вероятность произведения:

p(AB)=p(A)*p(B|A)=p(B)*p(A|B).

Случайные события А и В назовём независимыми, если

р(АВ)=р(А)*р(В).

Пример. Рассмотрим предыдущий пример с урной, содержащей N шаров, из которых n белых, но изменим опыт: вынув шар, мы кладём его обратно и только затем вынимаем следующий. А – событие, состоящее в том, что первым вынули белый шар, В – событие, состоящее в том, что первым вынули чёрный шар, а С – событие, состоящее в том, что вторым вынули белый шар; тогда

; ; ; ; ;

т.е. в этом случае события А и С независимы.
Индивидуальные задания

  1. Комбинаторика.

Пример 1. Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?

Пример 2. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?

Пример 3. Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз?

  1. Классическая вероятность с элементами комбинаторики.

Пример 1. Подбрасывание игральной кости один раз. Событие А состоит в том, что выпавшее число очков – чётно. Найти вероятность наступления события А.

Пример 2. Подбрасывание симметричной монеты 2 раза. Событие А состоит в том, что выпало ровно 2 герба. Найти вероятность наступления события А.

Пример 3. Вытягивание шара из урны, содержащей 2 белых и 3 чёрных шара. Событие А состоит в том, что вытянули чёрный шар. Найти вероятность наступления события А

Пример 4. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры. Какова вероятность того, что он с первого раза наберёт эти цифры правильно, если он помнит, что они различны?

Пример 5. Шесть шариков случайным образом располагаются в шести ящиках так, что для каждого шарика равновероятно попадание в любой ящик и в одном ящике может находиться несколько шариков. Какова вероятность того, что в каждом ящике окажется по одному шарику?

Пример 6. В урне 3 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Пример 7. Завод производит 85% продукции первого сорта и 10% - второго. Остальные изделия считаются браком. Какова вероятность, что взяв наудачу изделие, мы получим брак?

Пример 8. Из 20 студентов 5 человек сдали на двойку экзамен по истории, 4 – по английскому языку, причём 3 студента получили двойки по обоим предметам. Каков процент студентов в группе, не имеющих двоек по этим предметам?

Пример 9. Из 30 экзаменационных билетов студент подготовил только 25. Если он отказывается отвечать по первому взятому билету (которого он не знает), то ему разрешается взять второй. Определить вероятность того, что второй билет окажется счастливым.

Пример 10. По условиям предыдущего примера найти вероятность успешной сдачи экзамена, если для этого студент должен ответить на первый билет, или, не ответив на первый, обязательно ответить на второй.

Практическая работа №12

1   2   3   4   5   6
написать администратору сайта