Главная страница
Навигация по странице:

Методические указания для студентов по проведению практических работ по дисциплине Математика
Скачать 1.59 Mb.
Название Методические указания для студентов по проведению практических работ по дисциплине Математика
Анкор Metodicheskie_ukazania.docx
Дата 13.04.2017
Размер 1.59 Mb.
Формат файла docx
Имя файла Metodicheskie_ukazania.docx
Тип Методические указания
#916
страница 2 из 6
1   2   3   4   5   6

Практическая работа № 1


Тема работы: предел функции

Теоретические сведения

  1. Раскрытие неопределенностей вида :

    1. Пусть f(x) – рациональная дробь. Числитель и знаменатель дроби раскладывают на множители.

Пример:
Разложим квадратный трехчлен на множители, решив квадратное уравнение




    1. Пусть f(x) – дробь, содержащая иррациональные выражения. Тогда применим правило «избавления от иррациональности» путем умножения соответствующих частей дроби на число, сопряженное иррациональной части, или правило замены переменной.



    1. Пусть f(x) – дробь, содержащая тригонометрические функции. Для раскрытия неопределенностей, в этом случае, используется первый замечательный предел или эквивалентные бесконечно малые функции.





  1. Раскрытие неопределенностей вида :

    1. Пусть f(x) – рациональная дробь. Тогда делим и числитель и знаменатель на переменную в старшей степени.

Примеры




Индивидуальные задания

Вычислить пределы

Вариант 1
Вариант 2





































Практическая работа № 2

Тема работы: Производная функции

Теоретические сведения

Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x, когда x стремится к нулю:




Геометрический смысл производной:



- тангенс угла наклона  касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0

Физический смысл производной:- скорость движения тела в момент времени t при прохождении пути S(t).

Функция, имеющая производную, называется дифференцируемой. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Таблица производных

Таблица формул дифференцирования
При условии - функция х
При условии

I





II





III





IV





V





VI





VII





VIII





IX





X





XI





XII





XIII





XIV





XV





XVI





XVII





XVIII





XIX





XX





XXI






Правила дифференцирования

  1. Производная постоянной С равна нулю:



  1. Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций:



  1. Производная произведения двух функций:



В частности,

  1. Производная частного двух функций:



  1. Производная сложной функции: если

,

то

,

то есть производная сложной функции по независимой переменной x равна произведению производной этой функции по промежуточной переменной uна производную промежуточной переменной по независимой переменной x.

Индивидуальные задания

Найдите производные функций и, при необходимости, вычислите их значения:

Вариант 1
Вариант 2



Вычислите

Вычислите
































Практическая работа № 3

Тема работы: Условия монотонности функции. Необходимое и достаточное условие экстремума

Теоретические сведения

Для определения промежутков монотонности функции y = f(x) используют достаточный признак монотонности.

Достаточный признак монотонности дифференцируемой функции:

Если на интервале х(а, b) производная f ‘(x) сохраняет знак, то функция y = f (x) сохраняет монотонность на этом интервале, а именно: если f ‘(x) > 0, то f(x) возрастает, если f ‘(x) <0 , то f(x) убывает.

Для установления точек экстремумов функции y = f (x) используют необходимый и достаточные признаки существования экстремума.

Необходимое условие существования экстремума функции: если непрерывная функция y = f (x) имеет экстремум в точке х0, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.

Точки, принадлежащие ООФ, в которых производная f ‘(x) равна нулю или не существует, называют критическими точками функции по ее первой производной (точками, «подозрительными на экстремум»).

Первый достаточный признак существования экстремума: если при переходе через критическую точку х0 (слева направо) производная f ‘(x) изменяет свой знак, то в точке х0 есть экстремум причем это максимум, если знак f ‘(x) меняется с плюса на минус, и это минимум, если знак f ‘(x) меняется с минуса на плюс. Если при переходе через критическую точку х0 производная f ‘(x) не изменяет свой знак, то в точке х0 нет экстремума функции f (x) .

Второй достаточный признак существования экстремума: если y = f (x) – дважды дифференцируемая функция в точке х0 и f ‘(x0)=0, тогда: если f ‘’(x0 ) < 0, то х0 – точка минимума функции, а если f ‘’(x0 ) > 0, то х0 – точка максимума.

Для нахождения точек экстремумов функции y = f (x) сначала находят критические точки по первой производной. После этого проверяют выполнение в них достаточных условий существования экстремума функции.
Индивидуальные задания

Найти промежутки возрастания и убывания функции. Найти точки экстремума


Вариант 1
Вариант 2


























Практическая работа № 4,5

Тема работы: Исследование функции, построение графиков.

Теоретические сведения

Рекомендуется исследование функций проводить в определенной последовательности.

1. Найти область определения функции; точки разрыва и их характер; вертикальные асимптоты графика.

2. Определить возможный тип симметрии функции (четность, нечетность функции); точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решить уравнения и .

3. Найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции.

4. Использовать первую производную для определения области возрастания и убывания и экстремумов функции.

5. Использовать вторую производную для определения участков выпуклости и вогнутости графика и точек перегиба.

6. Построить график функции с учетом проведенного исследования.

Пример. Провести полное исследование функции



Решение:

Проведем полное исследование функции, используя следующую схему:


  1. найти область определения функции;

  2. исследовать на четность и нечетность функцию;

  3. найти точки разрыва функции;

  4. найти асимптоты (вертикальные, наклонные и горизонтальные) графика функции;

  5. найти точки пересечения графика функции с координатными осями;

  6. исследовать функцию на монотонность (указав интервалы возрастания и убывания) и экстремум;

  7. определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;

  8. при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках;

  9. построить схематично график функции, используя результаты полученные в пунктах 1-8.

Областью определения функции является множество .

Так как и , то функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция претерпевает разрыв в точке .

Найдем асимптоты графиков функции:

а). Прямая является вертикальной асимптотой, т.к.
,

б). Находим наклонные и горизонтальные асимптоты (горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот) ,

где ;



Таким образом, прямая является единственной наклонной асимптотой и на , и на .

Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

а) С осью : , , т.е. точка пересечения с осью - .

б) С осью : , , т.е. точка пересечения с осью - .
6. Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум. Для этого найдем производную функции.



Из получаем , откуда , .
+ _ +

______________________________________ x

-3 11
Так как на интервалах и производная положительна, т.е. , то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале производная отрицательна, т.е. , то на указанном интервале график функции убывает.

Так как при переходе через точки , производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то , - точки локального экстремума. Причем точка локального минимума: (так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-"); - точка локального максимума: (так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+").

7. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную функции.



Очевидно, что в интервале вторая производная меньше нуля, т.е. , и в этом интервале график функции является выпуклым вверх. В интервале вторая производная больше нуля, т.е. , и в этом интервале график функции является выпуклым вниз (вогнутым).

Несмотря на то, что при переходе через точку вторая производная меняет знак, она не является точкой перегиба, так как не входит в область определения функции, т.е. функция в ней не определена. Таким образом, точек перегиба у графика функции нет.

Из получаем , откуда , .

+ _ +

______________________________________ x

-3 11

Так как на интервалах и производная положительна, т.е. , то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале производная отрицательна, т.е. , то на указанном интервале график функции убывает.

Так как при переходе через точки , производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то , - точки локального экстремума. Причем точка локального минимума: (так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-"); - точка локального максимума: (так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+"). На основании проведенного исследования построим график функции:

http://matica.org.ua/images/stories/lamu/image350.gif

Индивидуальные задания

№ Варианта
Функция

1


2


3


4


5


6


7


8


9


10


11


12


Практическая работа № 6.

</0>
1   2   3   4   5   6
написать администратору сайта