Методические указания для студентов по проведению практических работ по дисциплине Математика

Скачать 1.59 Mb.

Название	Методические указания для студентов по проведению практических работ по дисциплине Математика
Анкор	Metodicheskie_ukazania.docx
Дата	13.04.2017
Размер	1.59 Mb.
Формат файла
Имя файла	Metodicheskie_ukazania.docx
Тип	Методические указания #916
страница	3 из 6

1 2 3 4 5 6

Тема работы: Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса.

Теоретические сведения

Определители

Определителем 2-го порядка с элементами а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ называется число, которое обозначается и вычисляется следующим образом:

Определителем 3-го порядка с элементами а _i _j (i,j= 1,2,3) называется число, которое обозначается и вычисляется следующим образом:

Для квадратной матрицы А можно рассматривать ее определитель, который обозначается

или det A.

Если определитель матрицы А отличен от нуля (det A

), то матрица А называется невырожденной или неособой.

Системы линейных уравнений

Пусть дана система из m уравнений c n неизвестными:

Матрицы А=

, X=

, В=

Называются соответственно матрицей коэффициентов, матрицей- столбцом неизвестных и матрицей- столбцом правых частей. С их помощью систему можно записать в эквивалентной матричной форме:

АХ=B

а) Метод Крамера.

Если m=n, то есть число неизвестных равно числу уравнений, и если основной определитель системы отличен от нуля:

то решение системы единственно и определяется по формулам

где определители _i получаются из основного определителя  заменой i-го столбца на столбец правых частей.

б) Метод Гаусса.

Этот метод пригоден для произвольных систем, в том числе и для случая, когда число уравнений меньше числа неизвестных.

I шаг. Пусть а₁₁

_. Разделим 1-ое уравнение на а₁₁, а затем умножим его на –а₂₁, на –а₃₁ и т.д. и прибавим соответственно ко 2-му, 3-му и т.д. уравнениям. Система примет вид, в котором все уравнения, начиная со 2-го, не содержат x₁:

II шаг. Делаем то же самое с получившейся системой из (m-1)-го уравнения относительно x_{2 ……..}x_n и исключаем x₂ из всех уравнений, следующих за 2-м, и так далее.

В конечном итоге система приводится либо к треугольному виду:

откуда последовательно определяются x_n , x_n_-1, …x₁ (решение единственно); либо система приводится к трапецеидальному виду (решение единственно); либо система приводится к трапецеидальному виду (решение не единственно); либо на каком-то шаге возникает уравнение вида 0=1- в этом случае система не имеет решений.

При решении системы методом Гаусса удобно преобразовывать указанным способом не саму систему, а отвечающую ей расширенную матрицу коэффициентов

Пример. Решить систему линейных уравнений (n=3)

двумя способами: По методу Крамера, методом Гаусса.

Решение

Метод Крамера

Вычислим определитель матрицы коэффициентов А:

Так как

, то система имеет единственное решение. Заменим в матрице А первый столбец столбцом правых частей и вычислим определитель

получившейся матрицы:

Заменим поочередно второй и третий столбцы столбцом свободных членов и вычислим

Тогда решение системы:

Метод Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу коэффициентов системы:

Преобразуем матрицу

так, чтобы привести ее к треугольному или трапецеидальному виду.

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы:

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2), а к третьей строке первую, умноженную на (-3):

Умножим вторую строку получившейся матрицы на (-2) и прибавим ее к третьей строке:

Запишем получившуюся систему, которая равносильна исходной:

Из последнего уравнения найдем x₃: x₃=-2, затем из второго уравнения найдем x₂: x₂=8x₃+19, то есть x₂=3, и из первого уравнения найдем x₁:

x₁=14-2x₂+3x₃=14-23+3(-2)=2.

Окончательно получим x₁=2, x₂=3, x₃=-2.

Индивидуальные задания.

Практическая работа № 7

Тема работы: Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными..

Теоретические сведения
Свойства неопределенного интеграла

1) ; 3) ;

2) ; 4) , если а = const;

5) Если , то , где u(x) – любая дифференцируемая функция.

Таблица основных интегралов:

1. ; 7. ;

2. ; 8. ;

3. ; 9. ;

4. ; 10. ;

; 11. ;

5.; 12.;

6. ;

13. ; 14. ;

15. ;

16. .

Определение 1. Уравнение, содержащее дифференциал функции или производную, называется дифференциальным.

Например:

.

Определение 2. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая обращает данное уравнение в истинное равенство.

Упражнение. Проверить: Является функция

решением дифференциального уравнения

.

Проверка:

Найдём производную функции:

Подставим найденное выражение в левую часть уравнения:

Левая часть равна правой, следовательно, данная функция

является решением дифференциального уравнения

.
Определение 3. Уравнение вида

, в котором переменные расположены в разных частях уравнения, называется дифференциальным уравнением I порядка с разделяющимися переменными.

Метод решения основан на интегрировании каждой части уравнения.
Пример 1. Решить уравнение:

.

Решение: из формулы дифференциала функции

выразим производную

. Подставим в уравнение. Уравнение примет вид:

.

Домножим уравнение на dx , тогда

Переменные разделены. Можно интегрировать:

- это решение называется общим.

Пусть заданы значения переменных x=1, y=3 – это начальные условия. Они нужны, чтобы получить частное решение, в котором будет определено значение константы С.

Подставим значения переменных в уравнение и выразим С.

3=