Методические указания для студентов по проведению практических работ по дисциплине Математика
 Скачать 1.59 Mb.
|
|
Тема работы: Формула полной вероятности. Формула Бейеса Теоретические сведения. Допустим, производится эксперимент (опыт), об условиях которого можно сделать n взаимно исключающих друг друга предположений (гипотез): H1,H2 ,...,Hn . Каждая гипотеза представляет из себя некоторое событие; все они попарно несовместны и образуют полную группу (т.е. в результате эксперимента может реализоваться ровно одна из гипотез). Вероятности гипотез должны быть предварительно найдены; пусть они равны P(H1),P(H2 ),...,P(Hn ) . Отметим, что если при решении задачи гипотезы введены правильно, и их вероятности найдены верно, то справедливо равенство P(H1) + P(H2 ) +...+ P(Hn ) =1. Если равенство не выполняется, это говорит о том, что либо система гипотез введена неверно, либо имеются ошибки в вычислении вероятностей гипотез. Далее рассматривается некоторое событие A, вероятность которого нужно определить. При этом сначала находятся условные вероятности P(A/H1),P(A/H2 ),...,P(A/Hn) . Затем вероятность события А находится по следующей формуле полной вероятности  Вероятности P(Hi ) , i=1, 2, ..., n, вычисляются до проведения эксперимента. В зависимости от появления или непоявления события A в результате эксперимента вероятности гипотез могут быть уточнены. Условные вероятности гипотез P(Hk / A) могут быть найдены с помощью формулы Байеса (или Бейеса)  Примеры решений: Задача 1. В магазине три холодильника, в которых заканчивается мороженое. В первом 4 белых и 6 шоколадных, во втором - 2 белых и 8 шоколадных, в третьем - 3 белых и 7 шоколадных. Наугад выбирают холодильник и вынимают из него мороженое. Определить вероятность того, что оно белое. Решение. Обозначим события следующим образом: Hi – выбран i - й холодильник, A – выбрано белое мороженое Тогда имеем:  Вероятности, что из каждого холодильника можно извлечь белое мороженое будут равны    Используя формулу полной вероятности, находим:  Таким образом, вероятность вытащить белое мороженое равна 0,3 или 30%. Задача 2. В офисе есть четыре ноутбука изготовленных компанией A, 6 – компанией B, 8 компанией C и два, которые производит D. Гарантии, что ноутбуки этих компаний будут работать в течение гарантийного срока, без ремонта составляют 70%, 80%, 85%, и 55% для каждой из них. Нужно найти вероятность, что выбранный ноутбук будет работать без ремонта в течение гарантийного срока. Решение. Обозначим события следующим образом: Hi – выбран ноутбук компании i, А – ноутбук проработает без ремонта. Вероятности выбора ноутбука каждой из компаний считаем равносильными их количеству, на основе этого вероятности примут значения:     Вероятности, что они будут работать без ремонта, равны     Здесь мы просто переводим проценты в вероятность. Применяем формулу полной вероятности:  Вероятность безремонтной работы ноутбука равна 0,775. Задача 3. Заданы условия первой задачи. Нужно установить вероятность того, что мороженое извлекли из второго холодильника. Решение. Выпишем результаты первой задачи, необходимые для вычислений    и подставим в формулу Байеса  Как можно видеть, вычисления по формуле несложные, главное понять, что и как определяется. Задача 4. Для задачи 2 нужно установить вероятность того, что исправный ноутбук принадлежит к компаниям C, D. Решение. Выпишем предварительно найдены вероятности    и проведем вычисления по формуле Байеса   Индивидуальные задания Задача 1. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае — в 0,25. По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта для этой фирмы? Задача 2. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15; 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,60, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,30, когда ситуация посредственная, и с вероятностью 0,10, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме? Задача 3. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 студента подготовлены отлично, 4 - хорошо, 2 - удовлетворительно и 1 - плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный - на 16, удовлетворительно подготовленный - на 10, плохо подготовленный - на 5. Вызванный наугад студент ответил на все три заданных преподавателем вопроса. Найти вероятность того, что этот студент: а) подготовлен отлично; б) подготовлен плохо. Задача 4. На склад поступают телефоны трех заводов, причем доля телефонов первого завода составляет 25%, второго - 60%, третьего - 15%. Известно также, что средний процент телефонов без брака для первой фабрики составляет 2%, второй - 4%, третьей - 1%. Найти вероятность того, что: а) наугад взят телефон окажется с браком; б) телефон изготовлен на первом заводе, если он бракованный; в) на каком заводе скорее был изготовлен телефон, если он сделан качественно? Практическая работа № 13 Тема работы: формула Бернулли Теоретическая справка Если проводится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Пусть в независимых испытаниях событие А имеет одну и ту же вероятность. Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может произойти и не произойти. Вероятность события А в каждом испытании равна числу p, а вероятность ненаступления события А равна числу q = 1 – p . Вычислим вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет ровно k раз - Pnk(A). Эта вероятность вычисляется по формуле Бернулли. Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие А произойдет ровно k раз и не наступит n – k раз по теореме умножения вероятностей независимых событий будет равна pk * qn-k . Таких событий будет столько, сколько можно составить сочетаний из n по k - (Cnk ) . Т.к. сложные события будут несовместны, то по теореме сложения вероятностей Pnk(A) равна сумме вероятностей этих сложных событий Pnk(A) = Cnk * pk * qn-k . Пример: Пусть нам требуется вычислить вероятность того, что в четырех независимых испытаниях событие А должно произойти 3 раза . P43(A) = C43*p3*q , где A = AAAA + AAAA + AAAA + AAAA . Пример: Монета подбрасывается 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадает 2 раза. А = {герб} , n = 10, k=2 , p=1/2 , q=1/2 P102(A) = C102*(1/2)2*(1/2)8 = 45/1024 . Пример: Проводится 8 независимых испытаний в каждом из которых вероятность события А равна 0,1. Найти вероятность того, что события А в 8 испытаниях появится хотя бы 2 раза. p = 0,1 , q=0,9 , n=8. Найдем вероятность противоположного события P80(A)+P81(A) = C80*0,10*0,98+C81*0,11*0,97 = 1,7*0,97 Ответ: 1 - 1,7*0,97 Индивидуальные задания Задача 1. Из n аккумуляторов за год хранения k выходит из строя. Наудачу выбирают m аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них l исправных. n=100,k=7,m=5,l=3. Задача 2. Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут: а)три элемента; б) не менее четырех элементов; в) хотя бы один элемент. Задача 3. Сколько следует сыграть партий в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5? Задача 4. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров: а) не более одного потребует ремонта; б) хотя бы один не потребует ремонта. Задача 5. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются. Задача 6. Вероятность выпуска бракованного изделия на станке равна 0,2. Определить вероятность того, что в партии из десяти выпущенных на данном станке деталей ровно k будут без брака. Решить задачу для k = 0, 1, 10. Задача 7. Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что: 1. герб выпадет три раза; 2. герб выпадет один раз; 3. герб выпадет не менее двух раз. Задача 8. Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2. На склад поступило 20 телевизоров. Какое событие вероятнее: что в этой партии имеется два телевизора со скрытыми дефектами или три? Задача 9. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах будет ровно 3 попадания в цель. Задача 10. На склад из производственного цеха поступает в среднем 5% нестандартных деталей. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 10 деталей 2 будут нестандартными. Практическая работа №14 Тема работы: Простейший поток случайных событий и распределения Пуассона Теоретическая справка Если число испытаний велико, а вероятность появления события р в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формула Пуассона.  ,Где m – число появления события в n независимых испытаниях; m принимает значения 0, 1, 2,…, n.  - среднее число появления события в n испытаниях.Индивидуальные задания Задача 1. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных. Задача 2. Магазин получил 1000 бутылок лимонада. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну. Задача 3. Станок изготавливает за смену 100000 деталей. Вероятность изготовления бракованной детали p=0,0001. Найти вероятность того, что за смену будет изготовлено 5 бракованных деталей. Задача 4. Учебник издан тиражом 200 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 3 бракованных книг. Задача 5. Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов с вероятностью отказа для каждого в течение времени  равной 0,0005. Найти вероятность того, что в течение времени откажут: а) ровно 2 элемента; б) ни одного элемента; в) менее трех элементов; г) хотя бы один элемент.Практическая работа № 15 |