Учебник по дискретной математики. Д. Ушинского Дискретная математика

Формула включения и исключения

22. 
    Исследователь рынка сообщает следующие данные. Из 1000 опрошенных 811 нравится шоколад, 752 нравятся конфеты и 418 - леденцы, 570 нравится шоколад и конфеты, 356 - шоколад и леденцы, 348 - конфеты и леденцы, а 297 - все три вида сладостей. Показать, что в этой информации содержатся ошибки.
    
23. 
    В классе учатся 45 школьников, в том числе 25 мальчиков. 30 школьников учатся на хорошо и отлично, в том числе 16 мальчиков. Спортом занимаются 28 учеников, в том числе 18 мальчиков и 17 учащихся на хорошо и отлично. 15 мальчиков учатся на хорошо и отлично и в то же время занимаются спортом. Докажите, что в этой информации сдержатся ошибки.
    
24. 
    В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Шестеро знают английский, шестеро – немецкий, семеро – французский. Четверо знают английский и немецкий, трое – немецкий и французский, двое – французский и английский. Один человек знает все три языка. Сколько человек работают в отделе? Сколько человек знают только английский язык? Только французский?
    
25. 
    Сколько чисел в первой сотне не делится ни на одно из чисел 2, 3, 5?
    
26. 
    Сколько существует натуральных чисел меньших 1000, которые не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7?
    
27. 
    В ожесточенном бою 70 из 100 пиратов потеряли один глаз, 75 -одно ухо, 80 - одну руку и 85 - одну ногу. Страховая компания “Веселый Роджер”, в которой застрахованы пираты, задалась вопросом: каково минимальное число потерявших одновременно глаз, ухо, руку или ногу (страховой случай Total Permanent Disablement, при котором выплаты компании максимальны)?
    

Размещения с повторениями

28. 
    Назовем натуральное число «симпатичным'», если в его записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует 4-значных «симпатичных» чисел?
    
29. 
    Четыре студента сдают экзамен. Сколько может быть вариантов распределения оценок, если известно, что все студенты экзамен сдали?
    
30. 
    На железнодорожной станции имеется m светофоров. Сколько может быть дано различных сигналов, если каждый светофор имеет три состояния: красный, желтый, зеленый?
    
31. 
    Сколькими способами можно отправить 6 писем с тремя курьерами?
    
32. 
    В клубе велосипедистов считается плохим знаком иметь членский билет, в номере которого есть цифра 8. Поэтому председатель клуба решил выдавать билеты с номерами, в которые ни одна 8 не входит. Сколько было членов в группе, если известно, что использованы все трехзначные номера, не содержащие ни одной восьмерки?
    
33. 
    На флоте применяют семафор флажками. Каждой букве соответствует определенное положение флажков. Всего положений каждого флажка пять – вниз отвесно, вниз наклонно, горизонтально, вверх наклонно и вверх отвесно. Как правило, флажки находятся по разные стороны от тела сигнальщика. Но при передаче некоторых букв оба флажка расположены по одну и ту же сторону. Почему пришлось сделать такое исключение?
    
34. 
    В селении проживают 2000 жителей. Доказать, что, по крайней мере, двое из них имеют одинаковые инициалы.
    
35. 
    Каждую клетку квадратной таблицы 2x2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?
    
36. 
    Крокодил имеет 68 зубов. Доказать, что среди 16¹⁷ крокодилов может не оказаться двух с одним и тем же набором зубов.
    
37. 
    В некотором государстве не было двух жителей с одинаковым набором зубов. Какова может быть наибольшая численность населения государства? (наибольшее число зубов равно 32)
    
38. 
    При передаче сообщений по телеграфу используется код Морзе. В этом коде буквы, цифру и знаки препинания обозначаются точками и тире. При этом для одних букв используется только один знак (Е ∙), а для некоторых приходится использовать пять знаков (Э ∙ ∙ - ∙ ∙). Почему нельзя обойтись меньшим числом знаков?
    
39. 
    Сколькими способами можно заполнить одну карточку в лотерее «Спортпрогноз»? (В этой лотерее нужно предсказать итог тринадцати спортивных матчей. Итог каждого матча – победа одной из команд либо ничья; счет роли не играет.
    
40. 
    Трое юношей и две девушки выбирают место работы. В городе есть три завода, где требуются рабочие в литейный цех (туда берут лишь мужчин), две ткацкие фабрики (туда приглашают лишь женщин) и две фабрики, где требуются и мужчины и женщины. Сколькими способами могут они распределиться между этими предприятиями?
    
41. 
    Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо?