Учебник по дискретной математики. Д. Ушинского Дискретная математика

Сочетания

72. 
    Группе из пяти сотрудников выделено три путевки. Сколько существует способов распределения путевок, если:
    

• 
  Все путевки различны,
  
• 
  Все путевки одинаковы?
  

73. 
    Сколько вариантов экзаменационной комиссии, состоящей из 5 человек, можно создать из 14 преподавателей?
    
74. 
    Сколькими способами можно выбрать из n человек упорядоченную группу из k человек? Сколькими способами можно выбрать из n человек неупорядоченную группу из k человек?
    
75. 
    У одного школьника есть 6 книг по математике, а у другого - 8. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого?
    
76. 
    При встрече 12 человек обменялись рукопожатиями. Сколько сделано рукопожатий?
    
77. 
    Из класса, в котором учатся 30 человек, нужно выбрать двоих школьников для участия в математической олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?
    
78. 
    Из класса, в котором учатся 30 человек, нужно выбрать двоих школьников: одного для участия в математической олимпиаде, другого для участия в олимпиаде по физике. Сколькими способами это можно сделать, при условии, что олимпиады проходят в одно время?
    
79. 
    Есть 3 билета в различные театры. Сколькими способами они могут быть распределены среди 25 студентов группы, если каждый студент может получить только один билет. )
    
80. 
    На группу из 25 человек выделены 3 пригласительных билета на вечер. Сколькими способами они могут быть распределены (не более одного билета в руки)?
    
81. 
    В шахматном кружке занимаются 2 девочки и 7 мальчиков. Для участия в соревновании необходимо составить команду из четырех человек, в которую обязательно должна входить хотя бы одна девочка. Сколькими способами это можно сделать?
    
82. 
    В классе, в котором учатся Петя и Ваня - 31 человек. Сколькими способами можно выбрать из класса футбольную команду (11 человек) так, чтобы Петя и Ваня не входили в команду одновременно?
    
83. 
    Во взводе 3 сержанта и 30 солдат. Сколькими способами можно выделить одного сержанта и трех солдат для патрулирования?
    
84. 
    На школьном вечере присутствуют 15 юношей и 12 девушек. Сколькими способами можно выбрать из них четыре пары для танца?
    
85. 
    Сколькими способами можно вырезать прямоугольник из клеток доски размером m х n, при условии, что стороны прямоугольника состоят из целого количества клеток
    
86. 
    Докажите формулу Р(n₁,n₂,…,n_k)= двумя способами.
    

Сочетания с повторениями

87. 
    В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов.
    

• 
  Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?
  
• 
  Сколькими способами можно купить 8 открыток?
  
• 
  Сколькими способами можно купить 12 открыток?
  
• 
  Сколькими способами можно купить 12 открыток, чтобы среди них оказались открытки 3 фиксированных типов?
  
• 
  Сколькими способами можно купить 20 открыток, чтобы среди них были открытки всех типов?
  

88. 
    Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из значений 4, 5, 6, 7?
    
89. 
    Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, длина каждого ребра которых является целым числом от 1 до 10?
    
90. 
    Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4?
    
91. 
    Сколько различных десятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1 и 2?
    
92. 
    Сколько существует различных бросаний пяти одинаковых кубиков?
    

Разные задачи

93. 
    Из двух спортивных обществ, насчитывающих по 50 и 70 бегунов соответственно, надо выбрать по одному бегуну для участия в состязании. Сколькими способами может быть сделан этот выбор?
    
94. 
    На ферме есть 10 телят и 24 поросенка. Сколькими способами можно выбрать по одному теленку и поросенку? А просто двух любых животных?
    
95. 
    В шахматном кружке занимаются 15 девочек и 20 мальчиков. Для участия в соревновании необходимо составить команду из двух человек, в которую обязательно должны входить одна девочка и один мальчик. Сколькими способами это можно сделать?
    
96. 
    У одного филателиста есть 5 марок для обмена, а у другого - 10. Сколькими способами они могут обменять марку одного на марку другого?
    
97. 
    В классе 25 человек. Сколькими способами можно выбрать 5 человек для участия в олимпиадах по пяти различным предметам, если известно, что все олимпиады проходят одновременно? А если все олимпиады проходят в разное время?
    
98. 
    В классе 25 человек. Сколькими способами можно выбрать 5 человек для участия в олимпиаде по математике?
    
99. 
    Сколько имеется пятизначных чисел, которые делятся на пять?
    
100. 
     Сколько слов, содержащих по пять букв каждое, можно составить из 33 букв, если допускаются повторения, но никакие две соседние буквы не должны совпадать, то есть такие слова, как «пресс» или «ссора», не допускаются?
     
101. 
     Пассажир оставил вещи в автоматической камере хранения, а когда пришел получать вещи, выяснилось, что он забыл номер. Он только помнит, что в номере были числа 23 и 37. Чтобы открыть камеру, нужно правильно набрать пятизначный номер. Какое наибольшее количество номеров нужно перебрать, чтобы открыть камеру хранения?
     
102. 
     Сколько вариантов итогов чемпионата по футболу из 20 команд, совпадающих в главном (то есть 3 призера и 4 вылетевшие команды)?
     
103. 
     Сколько существует десятизначных чисел, в которых пять цифр 1, три цифры 2 и две цифры 3?
     
104. 
     Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем из трех букв Б?
     
105. 
     В алфавите племени Бум-Бум шесть букв. Словом является любая последовательность из шести букв, в которой есть хотя бы две одинаковые буквы. Сколько слов в языке племени Бум-Бум?
     
106. 
     Сколькими способами можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга а) две ладьи; б) двух королей; в) двух слонов; г) двух коней; д) двух ферзей?
     
107. 
     У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение 9 дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов. Сколькими способами это может быть сделано?
     
108. 
     Сколькими способами можно поселить 7 студентов в 3 комнаты: одно-, двух- и четырехместную?
     
109. 
     На группу из 34 человек выделено две путевки в Сочи и Евпаторию. Сколькими способами можно распределить путевки? Известно, что один человек не может получить две путевки сразу.
     
110. 
     На группу из 15 человек выделено три путевки в Сочи, Евпаторию и Анапу. Сколькими способами можно распределить путевки, если известно, что один человек не может получить две путевки сразу? Если известно, что один человек может получить сразу несколько путевок.
     
111. 
     На группу из 15 человек выделено три путевки в Сочи. Сколькими способами можно распределить путевки, если известно, что один человек не может получить две путевки сразу?
     
112. 
     На группу из 15 человек выделено 15 различных путевок. Сколькими способами можно распределить путевки, если известно, что один человек не может получить две путевки сразу?
     
113. 
     На группу из 15 человек выделено 5 путевок в Сочи, 3 в Евпаторию и 7 в Анапу. Сколькими способами можно распределить путевки, если известно, что один человек не может получить две путевки сразу?
     
114. 
     На рояле 88 клавиш. Сколько существует последовательностей шести попарно различных звуков? (В последовательности звуки идут один за другим.) Сколько существует аккордов из шести звуков? (Аккорд получается, если любые 6 клавиш нажаты одновременно.)
     
115. 
     Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на черных полях шахматной доски?
     
116. 
     В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?
     
117. 
     Сколько диагоналей в выпуклом n-угольнике?
     
118. 
     В классе 30 человек. Сколько способов разбить класс на две группы и в каждой выбрать старосту?
     
119. 
     Сколькими способами можно выбрать 6 карт из одной колоды, содержащей 52 карты, так, чтобы среди них были карты каждой масти?
     
120. 
     Сколько членов получиться после раскрытия всех скобок в выражении ?
     
121. 
     Сколько различных делителей имеет число:
     

122. 
     Определить, сколько рациональных членов содержится в разложении
     

123. 
     Какое число больше: или ?
     
124. 
     Сколько существует 6-значных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?
     
125. 
     Сколько гирлянд можно составить и 5 красных шариков, 2 зеленых и 3 синих
     
126. 
     Сколько существует 10-значных чисел, в которых имеются хотя бы две одинаковые цифры?
     
127. 
     Сколько всего 6-значных чисел a) без единиц в записи. b) по крайней мере с одной единицей в записи.
     
128. 
     Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?
     
129. 
     Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция?
     
130. 
     Сколькими способами можно выбрать из полной колоды (52 карты) 10 карт так, чтобы а) среди них был ровно один туз? б) ни одного туза в)среди них был хотя бы один туз?
     
131. 
     Сколько существует 6-значных чисел, у которых по 3 четных и нечетных цифры?
     
132. 
     Сколько существует 10-значных чисел, сумма цифр которых равна а) 2; б) 3; в) 4?
     
133. 
     Кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестерка. Сколько их?
     
134. 
     На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
     
135. 
     На прямой отмечено 10 точек, а на параллельной ей прямой – 11 точек. Сколько существует а) треугольников; б) четырехугольников с вершинами в этих точках?
     
136. 
     На плоскости даны 5 точек, никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько
     прямых можно провести через эти точки?
     
137. 
     Сколькими способами можно выбрать из 15 различных слов набор, состоящий не более чем из 5 слов?
     
138. 
     Сколькими способами можно составить комиссию из 3 человек, выбирая ее членов из 4 супружеских пар, но так, чтобы члены одной семьи не входили в комиссию одновременно?
     
139. 
     Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если данные двое человек из этих 17 не могут быть выбраны вместе?
     
140. 
     Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из 5 человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в нее вошло не более 3 юношей?
     
141. 
     Сколькими способами можно составить из 9 согласных и 7 гласных слова, в которые входят 4 различных согласных и 3 различных гласных?
     
142. 
     Найти сумму четырехзначных чисел, получаемых при всевозможных перестановках цифр 1, 2, 3, 4.
     
143. 
     Сколькими способами можно расставить n нулей и k единиц так, чтобы никакие две единицы не стояли рядом?
     
144. 
     Сколько способов выстроить в шеренгу 213 группу (25 человек)? А если ребята (9 человек) не стоят рядом?
     
145. 
     На книжной полке стоит 12 книг. Сколькими способами можно выбрать из них 5 книг так, чтобы никакие две из них не стояли рядом?
     
146. 
     За круглым столом короля Артура сидят 12 рыцарей. Из них каждый враждует со своими соседями. Надо выбрать 5 рыцарей, чтобы освободить леди Дженивьеру. Сколькими способами это можно сделать, если среди выбранных рыцарей не должно быть врагов?
     
147. 
     Сколькими способами можно переставить буквы слова обороноспособность так, чтобы никакие две буквы «о» не шли подряд?
     
148. 
     Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли подряд?
     
149. 
     Сколькими способами можно составить 6 слов из 32 букв, если в совокупности этих 6 слов каждая буква используется один и только один раз?