Лекции Общие понятия математики 14. Элементы теории множеств
 Скачать 0.75 Mb.
|
Глава 4. Математические доказательства§ 1. Умозаключения и их видыУмозаключение (рассуждение) – это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. Умозаключение состоит из посылок и заключения. Посылки – это высказывания, содержащие исходное знание. Заключение – это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного. Пример 1. Если число оканчивается нулем, то оно делится на 10. Число 50 оканчивается нулем. Следовательно, число 50 делится на 10. Пример 2. На основе примеров дети устанавливают, что 2 + 3 = 3 + 2, 4 + 5 = 5 + 4, 2 + 4 = = 4 + 2, а затем на основе полученных знаний делают вывод, что для всех натуральных чисел а и b верно равенство: а + b = b + а. Виды умозаключений 1. Дедуктивные умозаключения Определение. Дедуктивным называется умозаключение, в котором заключение логически следует из посылок. В дедуктивном умозаключении из посылок, выражающих знания большей степени общности следует заключение, выражающее знания меньшей степени общности (рассуждение ведется от общего к частному). Если посылки умозаключения обозначить А1, А2, …, Ап, , а заключение буквой В, то схематично умозаключение можно представить в виде  .Пример дедуктивного умозаключения: «Все цветы – растения. Роза – цветок. Следовательно, роза – растение». 2. Индуктивные умозаключения Определение. Неполная индукция – это умозаключение, в котором на основе того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса. В индуктивных умозаключениях от знания меньшей степени общности переходят к новому знанию большей степени общности (т.е. от отдельных частных случаев – к общему суждению) Индуктивные умозаключения обычно дают нам не достоверные, а лишь вероятностные (правдоподобные) заключения. Пример. 2 + 3 < 2 · 3, 4 + 5 < 4 · 5, 7 + 8 < 7 · 8, т.е для некоторых натуральных чисел можно утверждать, что сумма меньше их произведения. На основании того, что некоторые числа обладают указанным свойством, делаем вывод о том, что этим свойством обладают все натуральные числа: ( а, b N) а + b = а · b. Это высказывание ложно; можно привести пример: 1 + 2 < 1 · 2. Несмотря на то, что неполная индукция не всегда приводит к истинным выводам, роль таких умозаключений в процессе познания велика. Определение. Полной индукцией называется такое умозаключение, в котором общее заключение о некотором классе предметов делается на основании изучения всех предметов этого класса. Полная индукция дает достоверное заключение, поэтому часто применяется в доказательствах. Чтобы использовать полную индукцию, надо:
Пример: Простое число 11 – нечетное, простое число 13 – нечетное, простое число 17 – нечетное, простое число 19 – нечетное. Следовательно, все простые числа второго десятка – нечетные. 3. Умозаключения по аналогии Термин «аналогия» означает сходство, соответствие. Определение. Аналогия – умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта. Вывод по аналогии носит характер предположения и нуждается в доказательстве или в опровержении. Пример. В классе единиц – 3 разряда, в классе тысяч – 3 разряда, следовательно, в классе миллионов также 3 разряда. § 2. Схемы дедуктивных умозаключенийУмозаключение дает истинное заключение, если исходные посылки истинны и соблюдены правила вывода, или, как их еще называют, схемы дедуктивных умозаключений. Рассмотрим наиболее часто использующиеся правила. 1. Правило заключения:  .В данном правиле А(х) В(х) – общая посылка. Это может быть теорема, определение и, вообще предложение вида А(х) В(х). Вторая посылка А(а) – частная посылка, а предложение В(а) – заключение. Пример: Все числа, оканчивающиеся нулем, делятся на 10. Число 50 оканчивается нулем. Следовательно, число 50 делится на 10. В основе этого правила лежит тождественно истинная формула ((А В) А) В). Докажем тождественную истинность этой формулы при помощи таблицы истинности.
Пример. Если число делится на 6, то оно делится на 3. Число 28 не делится на 3. следовательно, число 28 не делится на 6. В основе этого правила лежит тождественно истинная формула ((А В)  )  ).
3. Правило силлогизма:  .Пример. Все квадраты – ромбы. Все ромбы – параллелограммы. Следовательно, все квадраты – параллелограммы. В основе правила лежит тождественно истинная формула (А В) В С) (А С).
4. Правило контрапозиции:  .Пример. Если углы смежные, то их сумма равна 180о. Следовательно, если сумма углов не равна 180о, то углы не смежные. В основе этого правила лежит тождественно истинная формула (А В) ( ).
§ 3. Проверка правильности умозаключенийВ логике существуют различные способы проверки правильности умозаключений. Один из них – с использованием кругов Эйлера. Данное умозаключение вначале записывают на теоретико-множественном языке и изображают посылки на кругах Эйлера.
Изображая посылки на кругах Эйлера, считают их истинными. После этого выясняют, всегда ли при таких посылках истинно заключение. Если всегда – умозаключение правильное; если же возможен рисунок, из которого видно, что заключение может быть ложным, то умозаключение неправильное. П В ример 1. Все числа, делящиеся на 10, делятся на 5. число 140 делится на 10. Следовательно, число 140 делится на 5. З   А апишем данное умозаключение на теоретико-множественном языке, для чего обозначим через А множество чисел, делящихся на 10, через В множество чисел, делящихся на 5. Тогда умозаключение можно записать в виде:  . Изобразив посылки на кругах Эйлера, видим, что в этом случае а В, т.е. умозаключение построено правильно.Пример 2. Все числа, делящиеся на 10, делятся на 5. Число 47 не делится на 10. Следовательно, число 47 не делится на 5. На теоретико-множественном языке умозаключение п   В А В А а римет вид:  . Изобразим посылки на кругах Эйлера и посмотрим, обязательно лиа В. По первому рисунку видно, что возможен случай, когда а В. Следовательно, заключение логически не следует из посылок, т.е. умозаключение построено неправильно. Математические софизмы В математике давно заметили, что использование схем, не гарантирующих истинность заключения, приводят к неверному выводу, лонному заключению. Математики стали умышленно придумывать неправильные рассуждения, имеющие видимость правильных. Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях. Пример 1. Докажем, что 5 = 1. Будем рассуждать так: из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и тоже число 3. Получим числа 2 и –2. при возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа 4 и 4. Значит, должны быть и исходные числа 5 и 1. Необходимо указать, где допущена ошибка. Ошибка в следующем: из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны. Пример 2. Докажем, что спичка вдвое длиннее телеграфного столба. Пусть а – дли на спички (дм) и b – длина столба (дм). Разность между bи а обозначим через с. Имеем: b – а = с, b = а + с. Перемножая эти два равенства по частям, находим: b2 – ab = ca+ c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2 – ab – bc = ca+ c2 – bc, или b(b– a – c) = – c(b– a – c), откуда b = – с, но b – а = с, поэтому b = а –b, или а = 2b, т.е. спичка вдвое длиннее телеграфного столба. Ошибка состоит в том, что нельзя делить на b– a – c, т.к. b– a – c = 0. § 4. Способы математического доказательстваДоказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных утверждений. В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обосновано и также истинно, как и последние. Таким образом, основой математического доказательства является дедуктивный метод. Доказательство – это совокупность логических приемов обоснования истинности какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений. Математическое доказательство – это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определенном порядке. Доказательства различают прямые и косвенные. Прямые доказательства. 1) Основываясь на некоторых истинных предложениях и условии теоремы строится цепочка дедуктивных умозаключений, которые приводят к истинному заключению. Пример. Докажем, что вертикальные углы равны. Углы 1 и 2 – смежные, следовательно, 1 + 2 = 180о. Углы 2 и 3 – смежные, следовательно, 2 + 3 = 180о. Имеем: 1 = 180о – 2 3 = 180о – 2 1 = 2.   21 3 4 2) Метод математической индукции. Утверждение справедливо для всякого натурального числа п, если: оно справедливо для п = 1 и из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального п = k следует его справедливость для п = k + 1. (Подробнее будет рассмотрено на старших курсах.) 3) Полная индукция (смотри ранее). Косвенные доказательства. 1) Метод от противного. Пусть требуется доказать теорему А В. Допускают, что ее заключение ложно, а значит, его отрицание  истинно. Присоединив предложение к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых есть и условие А), строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок. Полученное противоречие доказывает теорему.Пример. Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Дано: х с, у с. Доказать, что х у. Доказательство. Пусть прямая х не параллельна прямой у, т.е. прямые пересекаются в некоторой точке А. Следовательно, через точку А проходят две прямые, параллельные прямой с, что невозможно по аксиоме параллельности. 2) Доказательство, основанное на законе контрапозиции: вместо теоремы А В доказывают равносильную ей теорему  . Если она истинна, то исходная теорема тоже истинна.Пример. Если х2 – четное число, то х – четное число. Доказательство. Предположим, что х – нечетное число, т.е. х = 2k + 1 х2 = (2k + 1)2 = = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 – нечетное. Контрольные вопросы
|
.
В