Лекции Общие понятия математики 14. Элементы теории множеств

Скачать 0.75 Mb.

Название	Элементы теории множеств
Анкор	Лекции Общие понятия математики 14.doc
Дата	26.04.2017
Размер	0.75 Mb.
Формат файла
Имя файла	Лекции Общие понятия математики 14.doc
Тип	Курс лекций #3808
страница	7 из 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

§ 2. Свойства отношений

Отношение, заданное на множестве, может обладать рядом свойств, а именно:

Рефлексивность

Определение. Отношение Rнамножестве Х называется рефлексивным, если каждый элемент х множества Х находится в отношении Rс самим собой.

Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:

Rрефлексивно на Х (х  Х) х R х

Пример. Отношение равенства на множестве отрезков рефлексивно, т.к. каждый отрезок равен себе самому.

Граф рефлексивного отношения во всех вершинах имеет петли.
2. Антирефлексивность

Определение. Отношение Rнамножестве Х называется антирефлексивным, если ни один элемент х множества Х не находится в отношении Rс самим собой.

Rантирефлексивно на Х (х  Х)

Пример. Отношение «прямая х перпендикулярна прямой у» на множестве прямых плоскости антирефлексивно, т.к. ни одна прямая плоскости не перпендикулярна самой себе.

Граф антирефлексивного отношения не содержит ни одной петли.
Заметим, что существуют отношения, не являющиеся ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Например, рассмотрим отношение «точка х симметрична точке у» на множестве точек плоскости.

 у

l

х
Точка х симметрична точке х – истинно; точка у симметрична точке у – ложно, следовательно, мы не можем утверждать, что все точки плоскости симметричны сами себе, также мы не можем и утверждать, что ни одна точка плоскости не симметрична сама себе.

Симметричность

Определение. Отношение Rнамножестве Х называется симметричным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х.

Rсимметричнона Х (х, у  Х) х R у  у R х

Пример. Отношение «прямая х пересекает прямую у на множестве прямых плоскости» симметрично, т.к. если прямая х пересекает прямую у, то и прямая у обязательно будет пересекать прямую х.

Граф симметричного отношения вместе с каждой стрелкой из точки х в точку у должен содержать стрелку, соединяющую те же точки, но в обратном направлении.
4. Асимметричность

Определение. Отношение Rнамножестве Х называется асимметричным, если ни для каких элементов х, у из множества Х не может случиться, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом х.

Rасимметричнона Х (х, у  Х) х R у 

Пример. Отношение «х < у» асимметрично, т.к. ни для какой пары элементов х, у нельзя сказать, что одновременно х < у и у < х.

Граф асимметричного отношения не имеет петель и если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна.
5. Антисимметричность

Определение. Отношение Rнамножестве Х называется антисимметричным, если из того что х находится в отношении с у, а у находится в отношении с х следует, что х = у.

Rантисимметричнона Х (х, у  Х) х R у  у R х  х = у

Пример. Отношение «х  у» антисимметрично, т.к. условия х  у и у  х одновременно выполняются только тогда, когда х = у.

Граф антисимметричного отношения имеет петли и если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна.
6. Транзитивность

Определение. Отношение Rнамножестве Х называется транзитивным, если для любых элементов х, у, z из множества Х из того, что х находится в отношении с у, а у находится в отношении с z следует, что х находится в отношении с z.

Rтранзитивнона Х (х, у, z Х) х R у  у Rz х Rz

Пример. Отношение «х кратно у» транзитивно, т.к. если первое число кратно второму, а второе кратно третьему, то первое число будет кратно третьему.

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок от х к у и от у к z содержит стрелку, идущую от х к z.
7. Связность

Определение. Отношение Rнамножестве Х называется связным, если для любых элементов х, у из множества Х х находится в отношении с у или у находится в отношении с х или х = у.

Rсвязнона Х (х, у, z Х) х R у  у Rz х = у

Другими словами: отношение Rнамножестве Х называется связным, если для любых различных элементов х, у из множества Х х находится в отношении с у или у находится в отношении с х или х = у.

Пример. Отношение «х < у» связно, т.к. какие бы мы действительные числа не взяли, обязательно одно из них будет больше другого или они равны.

На графе связного отношения все вершины соединены между собой стрелками.

Пример. Проверить, какими свойствами обладает

отношение «х – делитель у», заданное на множестве

Х = {2; 3; 4; 6; 8}.

Построим граф данного отношения:

данное отношение рефлексивно, т.к. каждое число из данного множества является делителем самого себя;
свойством антирефлексивности данное отношение не обладает;
свойство симметричности не выполняется, т.к. например, 2 является делителем числа 4, но 4 делителем числа 2 не является;
данное отношение антисимметрично: два числа могут быть одновременно делителями друг друга только в том случае, если эти числа равны;
отношение транзитивно, т.к. если одно число является делителем второго, а второе – делителем третьего, то первое число обязательно будет делителем третьего;
отношение свойством связности не обладает, т.к. например, числа 2 и 3 на графе стрелкой не соединены, т.к. два различных числа 2 и 3 делителями друг друга не являются.

Таким образом, данное отношение обладает свойствами рефлексивности, асимметричности и транзитивности.

1 2 3 4 5 6 7 8 9