Лекции Общие понятия математики 14. Элементы теории множеств

1) 36 : 2 = 18;

2) 18 – 14 = 4;

3) 42 ∙ 2 = 84;4) 84 – 14 = 70;

5) 4 ∙ 70 = 280;

6) 280 + 20 = 300;

7) 300 : 2 = 150.

Следует заметить, что не всякое числовое выражение имеет значение. Так, выражение
15 : (5 – 5) не имеет значения во множестве действительных чисел, т.к. на нуль делить нельзя. Выражение (14 – 5) : 2 не имеет значения во множестве целых чисел, т.к. результат деления 9 на 2 множеству целых чисел не принадлежит.
§ 2. Числовые равенства и их свойства
Пусть даны 2 числовых выражения А и В. Соединив их знаком равенства, получим некоторое высказывание, называемое числовым равенством.

Равенство А = В считается истинным тогда и только тогда, когда оба выражения А и В имеют числовые значения, причем эти значения одинаковы.

Пример. 1) 16 : 2 = 3 + 5 – истинное числовое равенство, т.к. левая и правая части этого неравенства имеют значение 8;

2) 3 ∙ 4 = 15 – 4 – ложное равенство, т.к. значение левой части равно 12, а правой 11;

3) 15 : (10 – 10) = 15 – ложно, т.к. выражение в левой части не имеет значения.

Из данного выше определения вытекает, что если истинны равенства А = В и С = D, где А, В, С, D– числовые выражения, то при условии выполнимости соответствующих операций, истинны и равенства (А) + (С) = (В) + (D), (А) – (С) = (В) – (D), (А) ∙ (С) = (В) ∙ (D), (А) : (С) = (В) : (D), т.е. числовые равенства можно почленно складывать, вычитать, умножать, делить.

Отношение равенства числовых выражений обладает свойствами:

1) рефлексивности (А = А);

2) симметричности (А = В  В =А);

3) транзитивности (А = В  В = С  А =С), т.о. данное отношение является отношением эквивалентности и множество числовых выражений разбивается на классы эквивалентности, состоящие из выражений, имеющих одно и то же значение;

4) если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то полученное числовое равенство будет также истинным (А = В  (А) + (С) = (В) + (С));

5) если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то полученное числовое равенство будет также истинным (А = В  (А) ∙ (С) = (В) ∙ (С));

6) если обе части истинного числового равенства возвести в одну и ту же нечетную степень, то получим истинное числовое равенство (если п – нечетное натуральное число, то А = В  (А)^п = (В) ^п;

7) если обе части истинного числового равенства, левая и правая части которого имеют неотрицательное значение, возвести в одну и ту же четную степень, то получим истинное числовое равенство (если п – четное натуральное число, значения числовых выражений А и В неотрицательны, то А = В  (А)^п = (В)^п. Если снять условие, что значения числовых выражений А и В неотрицательны, то вместо эквивалентности будем иметь лишь импликацию А = В  (А)^п = (В)^п.
§ 3. Числовые неравенства и их свойства
Пусть А и В – два числовых выражения. Соединив их знаком > или <, получим некоторое высказывание, называемое числовым неравенством. Неравенство А < В считается истинным, если А и В имеют числовые значения, причем числовое значение выражения А меньше числового значения выражения В.

Пример. 2 + 5 < 3 ∙ 4 – истинное неравенство, т.к. левая часть имеет значение 7, правая имеет значение 12 и 7 < 12.

Неравенство А ≤ В является дизъюнкцией неравенства А < В и равенства А = В. Оно истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из данных элементарных высказываний.

Неравенство А < В < С является конъюнкцией неравенств А < В и В < С. Оно истинно тогда и только тогда, когда истинны оба неравенства.

Выполнив указанные в числовых выражениях действия, мы получим в левой и правой части неравенства соответствующие числа. Пусть а,b, с, d – соответствующие значения числовых выражений А, B, C, D.

Свойства числовых неравенств

1) если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство (А < В  (А) + (С) < (В) + (С));

2) если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и принимающее положительное значение, то полученное числовое неравенство будет также истинным (А < В  (А) ∙ (С) < (В) ∙ (С));

3) если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и принимающее отрицательное значение, то, чтобы получить истинное числовое неравенство, необходимо знак неравенства поменять на противоположный (А < В  (А) ∙ (С) > (В) ∙ (С));

4) неравенства одного знака можно почленно складывать (А < В, С < D (А) + (С) < (В) + (D));

5) неравенства одного знака, имеющие положительные значения, можно почленно перемножать (если А < В, С < D, причем а,b, с, d> 0, то (А) ∙ (С) < (В) ∙ (D));

6) обе части истинного числового неравенства можно возвести в одну и ту же нечетную степень (если п – нечетное натуральное число, то А < В  (А)^п < (В) ^п);

7) возводить в четную степень обе части неравенства можно лишь в том случае, если обе они имеют неотрицательные значения (если п – четное натуральное число и а,b≥ 0, то А < В  (А)^п < (В) ^п);

8) если а,b< 0, А < В  > .
§ 4. Выражение с переменной, его область определения. Тождество.
Записи 2а + 8, 3а + 5b, а⁴ – bс называют выражениями с переменными. Поставляя вместо букв числа, получим числовые выражения. Общее понятие выражения с переменными определяется точно так же, как и понятие числового выражения, только, кроме чисел, выражения с переменными могут содержать и буквы.

Для выражений с переменной тоже применяются упрощения: не ставят скобок, содержащих лишь число или букву, не ставят знака умножения между буквами, между числами и буквами и т.д.

Различают выражения с одной, двумя, тремя и т.д. переменными. Обозначают А(х), В(х, у) и т.д.

Выражение с переменной нельзя назвать ни высказыванием, ни предикатом. Например, о выражении 2а + 5 нельзя сказать, истинно оно или ложно, следовательно, высказыванием оно не является. Если вместо переменной а подставить числа, то получим различные числовые выражения, которые тоже высказываниями не являются, следовательно, данное выражение предикатом тоже не является.

Каждому выражению с переменной соответствует множество чисел, при подстановке которых получается числовое выражение, имеющее смысл. Это множество называют областью определения выражения.

Пример. 8 : (4 – х) – область определения R \{4}, т.к. при х = 4 выражение 8 : (4 – 4) не имеет смысла.

Если выражение содержит несколько переменных, например, х и у, то под областью определения этого выражения понимают множество пар чисел (а; b) таких, что при замене х на а и у на b получается числовое выражение, имеющее значение.

Пример. , область определения множество пар (а; b) │а ≥ b.

Определение. Два выражения с переменной называются тождественно равными, если при любых значения. Переменных из области определения выражений их соответственные значения равны.

Т.о. два выражения А(х), В(х) тождественно равны на множестве Х, если

1) множества допустимых значений переменной в этих выражениях совпадают;

2) для любого х₀ их множества допустимых значений, значения выражений при х₀ совпадают, т.е. А(х₀) = В(х₀) – верное числовое равенство.

Пример. (2х + 5)² и 4х² + 20х + 25 – тождественно равные выражения.

Обозначают А(х)  В(х). Заметим, что если два выражения тождественно равны на каком-то множестве Е, то они тождественно равны и на любом подмножестве Е₁  Е. Также следует отметить, что утверждение о тождественном равенстве двух выражений с переменной является высказыванием.

Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве.

Тождествами считают и верные числовые равенства. Тожествами являются законы сложения и умножения действительных чисел, правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, правила деления суммы на число и др. Тождествами также являются правила действий с нулем и единицей.

Замена выражения другим, тожественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения.

Пример. 7х + 2 + 3х = 10 х + 2 - тождественное преобразование, не является тождественным преобразованием на R.
§ 5. Уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения
Определение. Пусть f(x) и g(x) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда предикат f(x) = g(x) называется уравнением с одной переменной.

Определение. Значение переменной х из множества Х, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения или его решением.

Решить уравнение – это значит найти множество его корней.

Пример. 1) 7х + 5 = 3х + 13, х R. Это уравнение обращается в истинное равенство при х = 2, следовательно, множество его решений есть {2}.

2) (х – 3)(х + 3) = 0 – множество решений есть {–3; 3}.

Т.к. уравнение есть предикат, то с каждым уравнением связаны два множества:

1. 
   множество Х допустимых значений переменной (множество определения предиката),
   
2. 
   множество Т корней уравнений (множество истинности предиката).
   

Заметим, что Т  Х.

Определение. Пусть на множестве Х заданы два уравнения f₁(x) = g₁(x) и f₂(x) = g₂(x) и известно, что Т₁ – множество решений первого уравнения (Т₁ Х), Т₂ – множество решений второго уравнения (Т₂ Х). Если Т₁ = Т₂, то эти уравнения называются равносильными на множестве Х.

Другими словами: два уравнения называются равносильными на множестве Х, если множества решений этих уравнений, принадлежащих множеству Х, совпадают.

Пример. 1) 3х + 5 = 4х + 3 и 2х + 3 = 7 равносильны на множестве N, т.к. Т₁ = {2}, Т₂ = {2},
Т₁ = Т₂.

2) (х – 2)² = 3(х – 2) и (х – 2) = 3 не являются равносильными, т.к. Т₁ = {2; 5}, Т₂ = {5}, Т₁  Т₂.

Определение. Если множество решений уравнения f₁(x) = g₁(x) (1) является подмножеством множества решений уравнения f₂(x) = g₂(x) (2), то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).

Другими словами: уравнение (2) есть следствие уравнения (1), если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

Пример. (х + 2)² = 25 является следствием уравнения х + 2 = 5, т.к. уравнение х + 2 = 5 имеет только один корень 3, подставляя который в уравнение (х + 2)² = 25, получаем истинное равенство (3 + 2)² = 25, показывающее, что 3 удовлетворяет уравнению (х + 2)² = 25.

Два уравнения равносильны в том и только том случае, когда каждое из них является следствием другого.

Теоремы о равносильности уравнений

Теорема 1. Пусть уравнение f(x) = g(x) задано на множестве Х и h(х) – выражение, определенное на том же множестве Х. Тогда уравнения f(x) = g(x) (1) и f(x) + h(х) = g(x) + h(х) (2) равносильны.

Другими словами: если к обеим частям уравнения с областью определения Х прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве Х, получим новое уравнение, равносильное данному.

При решении уравнений чаще используются следствия из теоремы.

Следствие 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

Следствие 2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть уравнение f(x) = g(x) задано на множестве Х и h(х) – выражение, определенное на том же множестве Х и не обращающееся в нуль ни при каких значениях х из множества Х. Тогда уравнения f(x) = g(x) (1) и f(x) ∙ h(х) = g(x) ∙ h(х) (2) равносильны на множестве Х.

Другими словами: если обе части уравнения с областью определения Х умножить на одно и то же выражение с переменной, которое определено на том же множестве и не обращающееся на нем в нуль, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Следствие. Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Пусть уравнение f(x) = g(x) задано на множестве Х, f(x)  0, g(x)  0 на множестве Х и п – четное натуральное число. Тогда уравнения f(x) = g(x) и f^п(x) = g^п(x) равносильны.

Другими словами: при возведении обеих частей уравнения в четную степень получается уравнение, равносильное данному при условии, что обе части уравнения неотрицательны.

Замечание. Если обе части уравнения возвести в четную степень, то полученное уравнение будет следствием исходного. Если п нечетное натуральное число, то уравнения f(x) = g(x) и f^п(x) = g^п(x) равносильны.

Пример. Равносильны ли уравнения?

1. 
   (4х + 3) ∙ х = 11х и 4х + 3= 11. Нет, т.к. мы разделили обе части уравнения на х, т.е. умножили на выражение , но при х = 0 оно не имеет смысла, т.е. мы не выполнили условие теоремы 2. Т₁ = {0; 2}, Т₂ = {2}.
   
2. 
   (4х + 3)(х² + 2) = 11(х² + 2) и 4х + 3= 11 равносильны, т.к. х² + 2  0 ни при каких действительных х.
   

В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнения является взаимосвязь между компонентами и результатом действий.


Оглавление

1   2   3   4   5   6   7   8   9